Thermodynamik Beispiel zum Ausrechnen, bitte um Hilfe?

In einem Becher befinden sich 200 ml Wasser mit einer Temperatur von 20°C. Wie viele Eiswürfel sind mindestens notwendig, um das Getränk auf eine Temperatur unter 8°C abzukühlen? Jeder Eiswürfel besteht aus 10g Eis mit einer Temperatur von -15°C. Der Wärmeaustausch vernachlässigt. 

Answer 1

[indiachinacook]

Da brauchen wir ein paar Stoffkonstanten: Für die Wärmekapazität von Eis nehme ich 37.3 J mol⁻¹ K⁻¹ = 2.06 J g⁻¹ K⁻¹, für flüssiges Wasser haben wir 75.3 J mol⁻¹ K⁻¹ bzw. 4.18 J g⁻¹ K⁻¹, und die Schmelzwärme beträgt 6.01 kJ mol⁻¹ bzw. 334 J/g.

Wir wollen 200 ml ≈ 200 g Wasser von 20 °C auf 8 °C abkühlen, also um 12 K. Die Energie, die dazu abgeführt werden muß, beträgt q = c⋅m⋅ΔT = 10.03 kJ.

Ein Eiswürfel wiegt 10 g und hat eine Temperatur von −15 °C. Um ihn auf den Schmelz­punkt (0 °C) zu erwärmen, braucht er q = c⋅m⋅ΔT=310 J, zum Schmelzen braucht er weitere 3.34 kJ, und um dann auf 8 C aufzuwärmen, kommen nochmals c⋅ṁ⋅ΔT = 334 J dazu, insgesamt also 3.98 kJ.

Wir wollen also 10.03 kJ abführen, und ein Eiswürfel leistet 3.98 kJ; folglich braucht man 2.52 Eiswürfel, um genau 8 °C zu erreichen, bzw. 3 Eiswürfel, wenn man auf min­destens 8 °C abkühlen will und nur ganze Würfel verwenden will.

Wir können uns nun auch fragen, wie welche Temperatur mit den drei Eiswürfeln letzt­lich erreicht wird. Die drei Eiswürfel verbrauchen für den ganzen Prozeß (−15 °C → 8 °C) zusammen 11.94 kJ, das Wasser (20 ° → 8 °C) liefert aber nur 10.03 kJ. Die Differenz, 1.91 kJ, kühlt die nun insgesamt 230 g Wasser noch um weitere ΔT = q/(c⋅m) = 2 K ab, also fällt die Temperatur auf 6 °C.

Also lautet die Lösung: 200 g Wasser von 20 °C plus 3 Eiswürfel à 10 g von −15 °C ergeben eine Mischungstemperatur von 6 °C. Natürlich nur, wenn ich mich nicht verrechnet habe.

Noch zwei Randbemerkungen:

• Wegen des relativ kleinen Temperaturintervalls habe ich die Wärmekapazitäten als temperaturunabhängig angenommen. Für höhere Genauigkeit oder weitere Temperaturintervalle muß man über die temperaturabhängige Wärmekapazität integrieren.
• Die komplizierte Rechnerei mit der Berechnung auf zuerst 8 °C und dann weiter auf 6 °C ist glaube ich richtig (Heßscher Satz), aber es ist zugegebenermaßen schon spät in der Nacht.