Teilmenge vom Urbild beweisen?
Guten Tag alle Zusammen,
es gibt eine Matheaufgabe die ich überhaupt nicht verstehe(siehe Bild; Aufgabe 4 (i)). Ich weiß nicht wie der Ansatz lauten soll. Soweit ich weiß übersetzt man die Aufgabe folgendermaßen: f wird von X nach Y abgebildet.
A ist eine Teilmenge vom Urbild der Funktion f^-1(f(A)) für alle A Teilmenge von X. Ferner gilt: f ist injektiv. Das heißt, dass ich für jeden x-Wert genau einen y-Wert erhalte. Dies ist äquivalent zu: Das Urbild f^-1 von (f(A))=A für alle A Teilmenge von X.
Meine Frage: Wie geht man da vor? Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit euch erstellen, da ich die Aufgabe bzw. den Beweis auch wirklich verstehen möchte.
Aufgabe 4 (i)
Ich danke euch!
1 Antwort
Nehmen wir mal deine Übersetzung auseinander:
f wird von X nach Y abgebildet
Genauer: f ist eine Abbildung von der Menge X in die Menge Y. D.h. für jedes x in X gibt es genau ein y in Y mit f(x) = y.
A ist eine Teilmenge vom Urbild der Funktion f^-1(f(A)) für alle A Teilmenge von X
f^-1(f(A)) ist keine Funktion, sondern eine Menge. Die Aussage, die dort steht, ist:
A ist Teilmenge der Menge f^-1(f(A)).
Was für eine Menge f^-1(f(A)) ist, gilt es in dieser Frage zu erforschen.
Das heißt, dass ich für jeden x-Wert genau einen y-Wert erhalte.
Nein, diese Eigenschaft erhältst du schon alleine dadurch, dass f eine Funktion ist (siehe oben). Injektivität bedeutet, dass jedes y aus Y höchstens einmal durch die Funktion angenommen wird.
Oder formaler: Wenn x und x' unterschiedliche Elemente von X sind, dann können die Funktionswerte f(x) und f(x') nicht gleich sein. Eine klassische Art, das als Formel zu schreiben, ist:
bzw äquivalent:
...
Ignorieren wir aber den zweiten Teil erstmal und beschäftigen uns nur mit der Aussage:
Für alle Teilmengen A von X gilt: A ist Teilmenge von f^-1(f(A)).
Allgemein gilt für Teilmengenbeweise: Wenn du zeigen sollst, dass M eine Teilmenge von N ist, musst du zeigen, dass jedes Element von M auch ein Element von N ist. Der klassische Ansatz ist, sich ein beliebiges Element m von M zu denken und dann irgendwie zu schlussfolgern, dass das Element auch in N liegt.
Hier könnte der Beweis also wie folgt aussehen:
Sei a ein beliebiges Element von A.
... (hier taucht deine Argumentationskette auf) ...
Deswegen ist a ein Element von f^-1(f(A)).
Jetzt musst du dich fragen: Warum gilt diese letzte Zeile? Was für Elemente liegen überhaupt in f^-1(f(A)) und warum ist a eines davon?
Tipp: Hangel dich an den Definitionen entlang. Was ist f(A)? Was ist allgemein f^-1(B)? Was ist also f^-1(f(A))?
Das sind gar keine seltsamen Fragen - gerade am Anfang ist es schwierig, sich in mathematische Formalismen einzufinden, weil man das aus der Schule noch nicht gewohnt ist. Deswegen werden die ersten beiden Semester auch häufig als die härtesten bezeichnet: Der Stoff wird in Zukunft zwar inhaltlich nicht einfacher, aber man hat sich dann immerhin an die Methodik gewöhnt.
Kommen wir zu deinen Fragen:
Was ist f(A)?
Das ist sogar eine exzellente Frage! Ohne zu verstehen, was da eigentlich steht, brauchst du gar nicht erst nach einer Lösung suchen.
Als Tipp für die Zukunft: Wenn du nicht weißt, was ein Symbol oder Term o.ä. bedeutet, schau in dein Skript oder deine Folien (oder was man heutzutage an die Hand bekommt) und lies nach, ob du eine Definition dazu findest.
Ich tu jetzt mal kurz so, als wäre ich dein Skript:
Definition: Seien X, Y zwei Mengen und f: X --> Y eine Abbildung. Sei ferner A⊆X. Dann heißt
f(A) := { y ∈ Y | Es gibt ein a ∈ A mit f(a) = y }
das Bild von A unter f.
... Oder vereinfacht ausgedrückt: f(A) ist die Menge aller Funktionswerte, die f auf A annimmt.
Beispiel: Wenn f die reelle quadratische Funktion f(x) = x² ist, und A = {1,2,3}, dann ist
f(A) = { f(1), f(2), f(3) } = {1, 4, 9 }.
Und warum wird das Urbild als Menge bezeichnet?
Auch das ist eine Frage nach der Definition:
Definition: Seien X, Y zwei Mengen und f: X --> Y eine Abbildung. Sei ferner B⊆Y. Dann heißt
f^-1(B) := {x ∈ X | f(x) ∈ B }
das Urbild von B unter f.
... Oder vereinfacht ausgedrückt: f^-1(B) ist die Menge aller Elemente des Definitionsbereich, die in die Menge B abgebildet werden.
Beispiel: Wenn f die reelle quadratische Funktion f(x) = x² ist und B = {1,4,9}, dann ist
f^-1(B) = {1, -1, 2, -2, 3, -3}.
Wir sehen also: Urbilder sind Mengen. Du bist vllt verwirrt, weil du f^-1 evtl als Symbol für die "Umkehrfunktion" kennst. Das Problem ist: Nicht jede Funktion hat eine "Umkehrfunktion".
Wenn wir uns unser Beispiel f(x) = x² anschauen, sehen wir dass der Funktionswert y = 1 sowohl von x = 1 als auch x = -1 angenommen wird. Was ist also f^-1(1)? Eine "Umkehrfunktion" müsste einen eindeutigen Funktionswert verteilen, also kann nicht f^-1(1) = 1 und f^-1(1) = -1 gleichzeitig gelten.
Deswegen wird das Urbild etwas allgemeiner als Menge definiert: f^-1({1}) ist die Menge aller x-Werte, die unter f nach {1} abbilden (also den Funktionswert 1 annehmen).
Mit y aus Y meinst du: wir haben eine Menge Y, die die Elemente y enthält. Ist y somit eine Teilmenge von Y? Gilt das Gleiche auch für x aus X?
Und was bedeuten x und x' in diesem Zusammenhang?
Die kleinen Buchstaben sind in diesem Fall "Platzhalter" für Elemente von Y bzw. X (du würdest sie vllt "Variablen" nennen). Wie gesagt heißt f injektiv, wenn jedes Element von Y höchstens einmal von der Funktion angenommen wird.
Beispiel: unsere Lieblingsfunktion f(x) = x² ist nicht injektiv, denn:
f(1) = 1
und
f(-1) = 1
=> Der Funktionswert 1 wird mindestens zweimal von der Funktion angenommen. Genauer: Es gibt zwei unterschiedliche Elemente von X, die auf denselben Wert von Y abgebildet werden.
Jetzt kommt das Problem: Wie definieren wir den Begriff "injektiv" formal? Wir könnten explizit fordern, dass f(1) nicht gleich f(-1) sein darf, aber dann würde die Definition des Begriffs ziemlich lang werden:
Definitionsversuch: Eine Funktion f: IR --> IR heißt injektiv, wenn:
f(1) ≠ f(-1) und
f(1) ≠ f(-2) und
f(1) ≠ f(0) und
f(0) ≠ f(2) und
...
Wenn wir das so machen, wird die Vorlesung nie enden ;) Deswegen abstrahieren wir das ganze. Statt konkrete Zahlen einzusetzen, nutzen wir Platzhalter für diese Zahlen und charakterisieren, was diese Platzhalter für Eigenschaften erfüllen müssen.
In diesem Fall lautet die Abstraktion: Wenn ich zwei unterschiedliche Zahlen habe, müssen deren Funktionswerte ebenfalls unterschiedlich sein. Oder in Formeln:
Wenn x und x' zwei Zahlen sind und x ≠ x' gilt, dann muss f(x) ≠ f(x') gelten.
Und damit sind wir schon fast bei der Textbuch-Definition. Jetzt bemerken wir, nur noch, dass diese Abstraktion keinen Mehrwert davon hat, dass x und x' Zahlen sind - sie funktioniert genausogut für beliebige Elemente beliebiger Mengen. Wir kommen daher auf die Textbuchdefinition:
Definition: Eine Funktion f: X --> Y heißt injektiv, falls für alle x, x' ∈ X gilt:
Wenn x ≠ x' ist, dann ist f(x) ≠ f(x').
Wenn ich jetzt z.B. zeigen will, dass die reelle Funktion f(x) = 2x injektiv ist, kann ich das mithilfe der Definition tun:
Seien x, x' zwei beliebige Zahlen mit x ≠ x'.
Wäre f(x) = f(x'), so wäre 2x = 2x', also x = x', im Widerspruch zur Annahme.
Daher gilt f(x) ≠ f(x').
Hallo MagicalGrill,
ich möchte mich herzlich für deine Antwort bedanken. Du hast mir aufjedenfall weitergeholfen. Ich hoffe du hast für zukünftige Fragen noch ein offenes Ohr. :))
Liebe Grüße
Hallo MagicalGrill,
danke für deine Antwort. Ich habe erst mal einige grundlegende Fragen. Ich bin in der 2. Vorlesungswoche meines Physikstudiums im 1. Semester. Es ist sehr hart, besonders in Mathe. In der Vorlesung kommt man schwer dazu Fragen zu stellen. Deshalb möchte ich erst mal wissen: Was ist f(A)? Und warum wird das Urbild als Menge bezeichnet?
Mit y aus Y meinst du: wir haben eine Menge Y, die die Elemente y enthält. Ist y somit eine Teilmenge von Y? Gilt das Gleiche auch für x aus X?
Und was bedeuten x und x' in diesem Zusammenhang?
Ich weiß, dass das vielleicht seltsame Fragen sind, aber ich bin ehrlich gesagt sehr verzweifelt, weil ich im Studium nur sehr wenig verstehe. Ich möchte die Themen verstehen und das Studium meistern.
Ich bedanke mich bei deiner Hilfe.
LG