Taylorpolynom wie berechne ich das?

man braucht einen Näherungswert für In(1,14). An der Stelle 1 kennt man sowohl den Funktionswert In(1) als auch die Ableitungen der Logarithmusfunktion. wie berechne ich mithilfe des Taylorpolynoms 3. Grades eine Näherung für In(1, 14)?

Answer 1

[evtldocha]

Das Taylorpolynom 3. Grades um den Entwicklungspunkt 1 ist:

$T_{3;1​​}(​f(x))=f(1)+\frac{f^{(1)}\left(1\right)}{1!}​​​\cdot(x−1)+\frac{f^{(2)}​​​\left(1\right)⋅}{2!}(x−1)^2+\frac{f^{(3)}\left(1\right)}{3!}​​​\cdot(x−1)^3$

Jetzt setzt Du Dein x = 1,14 , den Funktionswert an der Stelle 1 und die 3 Dir bekannten Ableitungen f⁽ⁿ⁾(1) ein und Du hast einen Näherungswert (~ 0,13066)

Comments

[Betulacn1]

wie tue ich das bei f^(1)(1)/1! einsetzen also wie berechne ich den wert

[evtldocha]

@Betulacn1

Da steht nicht f^(1). Ich habe extra noch in meiner Antwort angedeutet, dass f⁽ⁿ⁾(1) die n-te Ableitung an der Stelle 1 meint (eine übliche Schreibweise in der Mathematik). Es bedeutet also:

f⁽¹⁾(1) = f'(1) - 1. Ableitung an der Stelle 1
f⁽²⁾(1) = f''(1) - 2. Ableitung an der Stelle 1
f⁽³⁾(1) = f'''(1) - 3. Ableitung an der Stelle 1

(Das mit den Strichen kann irgendwann niemand mehr lesen)