Tangens?
Hallo,
ich habe eine Frage zum Tangens. Soeben habe ich mir den Beweis angeschaut= sinus(a) = y und cos (a) = x, das bedeutet ja auch sinus(a)/ cos(a)= tan(a). Das Verhältnis habe ich mir durch den Einheitskreis hergeleitet, jedoch verstehe ich nicht so ganz: sin(a)=y, geht ja nur, weil dann die Hypotenuse 1 ist. Man teilt ja quasi y/1 =y. Aber das geht ja spezifisch nur, wenn die Hypotenuse 1 ist. Wenn ich beispielsweise die Gegenkathete y wäre und die Hypotenuse 10, wäre es ja y/10 und nicht = y. Warum kann man dann dieses Verhältnis auf alles beziehen?
Ich freue mich über jede Antwort und danke!
1 Antwort
Du hast
y = Gegenkathete
x = Ankathete
h = Hypothenuse
Wenn wie am Anfang erklärt h = 1 ist, dann ist y = sin(a). Ebenso ist x = cos(a).
Für alle Werte von h gilt aber:
y = sin(a) • h
x = cos(a) • h
Wenn du nun den Tangens als
sin(a) / cos(a) betrachtest, kürzen sich die Faktoren h weg.
y / x = (sin(a) • h) / (cos(a) • h) = sin(a) / cos(a) = tan(a)
Hoffe deine Frage korrekt verstanden zu haben.
Hallo Vida,
bitte entschuldige, dass ich mich jetzt erst melde. Die Tage waren ausgebucht.
Du willst wissen, warum sin²(α) + cos²(α) = 1 ist für alle Werte von α.
Zuerst zur Schreibweise sin²(α). Das ist eine Kurzschreibweise von (sin(α))².
Nach Pythagoras ist a² + b² = c².
x = sin(α) • h, y = cos(α) • h und die Hypothenuse hat die Länge h. x und y stehen senkrecht zueinander, so dass die Voraussetzung für den Pythagoras erfüllt ist.
In der Formel für den Pythagoras musst du a durch x, b durch y und c durch h ersetzen.
Dann bekommst du:
(sin(α) • h)² + (cos(α) • h)² = h²
Ausmultipliziert:
sin²(α) • h² + cos²(α) • h² = h²
Nun durch h² teilen:
sin²(α) + cos²(α) = 1
hä wie schlau du bist