Wie kann man den Tan(150°) ohne Taschenrechner und Geodreick berechnen?
Wie kann man den tan(150°) bzw allgemein den Tangens ohne Taschenrechner und ohne gezeichnetes Dreieck berechnen?
6 Antworten
Papier und Bleistift sind vonnöten!
Nicht bei allen Winkelfunktionen kann man mit dem Kopf rechnen. Das ist auch nur eine Spielerei. Aber bei den Vielfachen von 30° hat man Chancen, so auch bei tan 150°.
Dazu musst du wissen, dass tan = sin/cos ist, also
tan 150° = sin 150°/cos 150°.
Erinnere dich an den Einheitskreis: 150° ist 180° - 30°.
Wenn du den Sinus betrachtest (y-Wert), hast du sin 150° = sin 30°
und cos 150° = -cos 30°, weil der Kosinus auf der x-Achse liegt und zwar in negativer Richtung.
Wir sind jetzt also gelandet bei: tan 150° = - sin 30°/cos 30°.
Eine kleine Überlegung am Einheitskreis sagt, dass sin 30° = 0,5 ist. Meistens weiß man das sowieso.
Aus sin² + cos² = 1 folgt cos 30° = √(1 - sin² 30°)Das setze ich jetzt zusammen:
tan 150° = - 0,5/√(1 - 0,25) = -0,5 /√0,75 = -0,5/√(0,25 * 3) = -0,5/(0,5 * √3)
Nach Kürzen ergibt sich -1/√3.
√3 kennt man meist auch annäherungsweise auswendig: etwa 1,7.
Wer noch schriftlich dividieren kann, rechnet 1/1,7 = 10 : 17
Schriftlich gerechnet oder durch Überschlag liegt man bei -0,53
tan 150° = -0,57
Das ist doch nicht schlecht angenähert.
Mit der ganz normalen trigonometrischen Formel (Seitenverhältnisse) oder tan = sin/cos = 1/cot Irgendwelche Größen müssen ja gegeben sein, die auf das Ergebnis führen. Wirkt nur unrealistisch, dass man das ohne Taschenrechner vorraussetzt...
Es ist
sin 0° = ½√0
sin 30° = ½√1
sin 45° = ½√2
sin 60° = ½√3
sin 90° = ½√4
Für 30° und 60° kann man sich das an einem gleichseitigen Dreieck klarmachen, und für 45° an einem gleichschenklig rechtwinkligen ∆ .
cos ß = sin (90° - ß) und tan ß = sin ß / cos ß
Guten Tag,
also ohne Taschenrechner wird das schwierig. Aber in allen Prüfungen oder Arbeiten sind doch heute bei solchen Aufgaben Taschenrechner zugelassen.
Früher hatten wir da solche Tabellen, in denen genau dass stand. Denn mit Taschenrechnern war da noch nicht so viel.
Gruß, Ralf
Du kannst die Periodizität von Sinus und Kosinus für dein Vorhaben nutzen. Aber du musst auch ein paar wichtige Werte der Funktionen kennen.
Du brauchst:
- sin(30°) = 0,5
- sin^2(x) + cos^2(x) = 1
- sin(x)/cos(x) = tan(x)
Dann rechnest du 150° = 180° - 30°. Ein "Berg" bzw. "Tal" des Sinus geht über 180°. Das heißt du gehst erstmal 180° nach rechts, das heißt auf die rechte Seite des ersten Sinus-Berges. Da die Berge symmetrisch ist, ist sin(180°-30°) = sin(30°) = 0,5 = sin(150°).
Nun rechnest du cos(150°) mit der zweiten Gleichung aus:
sin^2(150°) + cos^2(150°) = 1
=> 0,25 + cos^2(150°) = 1
=> cos^2(150°) = 0,75
=> |cos(150°)| = sqrt(0,75) = sqrt(3/4) = sqrt(3)/2
Du musst jetzt noch wissen ob die Wurzel positiv oder negativ sein muss:
Da 90° < 150° < 270°, liegt der Wert in einem "Kosinus-Tal" und ist deshalb negativ.
Mit der dritten Gleichung rechnest du tan(150°) aus:
tan(150°) = -1/(2 * sqrt(3)/2) = -1/sqrt(3)
Am Besten in der Reihenfolge:
- Mit hilfe der antwort von volens verstehen, wie man besondere Werte von sin, cos und tan errechnet bzw. herleitet
- Wenn du es verstanden hast, die Antwort von stekum hernehmen und die Werte auswendig lernen (auf Grund der Besonderheit dürfte das nicht allzu schwierig sein)
Ich bin inzwischen 55 und kann die Werte noch immer, selbst wenn du mich mitten in der Nacht aufweckst ;-)
vielen Dank :) wenn ich allerdings sin(30°) bzw die Entsprechung in einer anderen Aufgabe nicht kenne (wenn ich zB tan(135°) ausrechnen soll) was kann ich da machen? ->es einfach auswendig lernen?? dann könnte ich doch auch gleich die Werte von cos und tangens mit auswendig lernen, oder?