Subtraktion von Restklassen?

Schönen guten Tag,

Restklassen sind eigentlich kein schwieriges Thema, jedoch machen mich die ganzen Beweise fertig, da ich dafür einfach keine passende Herangehensweise zu finden scheine. Da ich bei folgender Aufgabe wirklich gar nicht weiterkomme, wollte ich euch zu Rate beten, ob ihr mehr wisst als ich. :D

Die Frage ist folgende. Es gilt a≡b (mod n) und c≡d(mod n). Zeigen Sie dass dann auch gilt: a-c ≡ b-d (mod n).

Mir fällt es bei solchen Beweisen einfach super schwer, den Anfang zu finden. Das heißt ich weiß nicht einmal nach was ich das Ganze umstellen soll, oder wie auch immer. Ich dachte mir, dass dies eventuell mit der Tatsache zu beweisen geht das für die kongruenz von Restklassen folgendes gilt: wenn a≡b (mod n), so gilt auch: n | a - b, aber wie schon erwähnt habe ich einfach keine Idee auf was das letztendlich hinauslaufen soll.

lg John

2 Antworten

Quotenbanane

Von gutefrage auf Grund seines Wissens auf einem Fachgebiet ausgezeichneter Nutzer

Mathematik

25.05.2021, 17:11

a≡b (mod n) heißt nichts anderes, als dass es eine ganze Zahl q gibt, sodass a = q*n + b.

Äquivalent dazu gibt es für c≡d(mod n) eine ganze Zahl p, sodass c = p*n + d

Jetzt müsstest du selbst weiter wissen.

Woher ich das weiß:Studium / Ausbildung – Mathematik-Studium

Klossar086000

Beitragsersteller

26.05.2021, 12:46

Vielen Dank für ihre Antwort. Sie hat mir auf jeden Fall erst einmal in sofern weitergeholfen, dass ich jetzt weiß, um das Ganze beweisen zu können muss es eine Zahl x geben für die gilt a-c = x*n + b-d.

Mit der Gleichung die sie oben hergeleitet haben, komme ich jedoch nicht darauf, da sich das n, welches ich ja benötige immer wegkürzt und daher wollte ich sie um einen weiteren Denkanstoß beten. :)

Quotenbanane

26.05.2021, 12:56

@Klossar086000

da sich das n, welches ich ja benötige immer wegkürzt

??? Inwiefern kürzt sich das n weg.

Offenbar kann man die Gleichung zu a - c = q*n - p*n + b - d umstellen.

Klossar086000

Beitragsersteller

27.05.2021, 13:02

@Quotenbanane

Entschuldigen Sie, ich hatte hier einen fatalen Denkfehler.

Danke trotzdem für ihre Antwort!

Quotenbanane

27.05.2021, 14:12

@Klossar086000

Kein Stress, mittlerweile müsstest du sicher draufgekommen sein, dass a - c = n*(q - p) + b - d sich zu a-c = b-d mod n umwandeln lässt.

Klossar086000

Beitragsersteller

30.05.2021, 12:57

@Quotenbanane

Ja korrekt. Vielen Dank nochmals für ihre Hilfe.

eterneladam

Von gutefrage auf Grund seines Wissens auf einem Fachgebiet ausgezeichneter Nutzer

Mathematik

25.05.2021, 17:09

Wenn a ≡ b (mod n), dann a-c ≡ b-c (mod n), das ist trivial.

Und weiter a-c ≡ b-c ≡ b-d (mod n).

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----------------------------------------------------------

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∀a ∈ Z : a ≡ a(mod m) -

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∀a,b ∈ Z : a ≡ b(mod m) ⇒ b ≡ a(mod m)

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Input: A[1, n] mit n Einträgen
Output: Anzahl der Senken

counter := 0
for j := 2 to n - 1 do
  val := A[j]
  if val < A[j - 1] and val > A[j + 1] do
    counter := counter + 1

Mein Java Code dazu sieht folgendermaßen aus:

public static int countSenken(int[] arr) {
  int counter = 0;
  for (int i = 1; i < arr.length - 1; i++) {
    int val = arr[i];
    if (val < arr[i - 1] && val < arr[i + 1]) {
      counter++;
    }
  }
}

Nun soll ich die Korrektheit meines Algorithmus' beweisen. Wir haben das schonmal an dem Beispiel des Insertionsort Algorithmus' gemacht. Die herangehensweise ist ja eigentlich, dass man eine Schleifeninvariante aufstellt und diese dann mittels Induktion beweist. Mein Problem ist jetzt aber, dass ich diese Schleifeninvariante nicht aufstellen kann. Beim Insertionsort, da beweist man ja die Sortiertheit und da verändert sich ja das Array. Aber bei diesem Algorithmus jetzt da verändert sich das Array ja gar nicht.

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