Statistik: Was bedeutet "gewichtete" Summe?
4 Antworten
Sagen wir mal, bei einem Würfelspiel würfelt man mit einem Würfel und bekommt drei Punkte für eine durch 3 teilbare Zahl und einen Punkt sonst.
Wir können das einzeln aufschreiben:
- 1 --> 1 Punkt
- 2 --> 1 Punkt
- 3 --> 3 Punkte
- 4 --> 1 Punkt
- 5 --> 1 Punkt
- 6 --> 3 Punkte
Im Mittel bekommt man (1+1+3+1+1+3)/6 = 1 2/3 Punkte.
Man kann aber auch zusammenfassen:
- 1, 2, 4, 5 --> 1 Punkt
- 3,6 --> 3 Punkte
Jetzt bekommt das Ergebnis "1 Punkt" das relative Gewicht 4 (4 Möglichkeiten, es zu erreichen) und "3 Punkte" das relative Gewicht 2 (2 Möglichkeiten, es zu erreichen). Die gewichtete Summe ist dann
4 * 1 Punkt + 2 * 3 Punkte = 10 Punkte
Die gewichtete Summe braucht meistens nur, um das "gewichtete Mittel" zu berechnen.
Die Summe aller Gewichte ist 4 + 2 = 6, also ist das gewichtete Mittel = gewichtete Summe geteilt durch Gesamtgewicht:
<X> = (4 * 1 Punkt + 2 * 3 Punkte) / (4 + 2) = 1 2/3 Punkte
(wie im 1. Beispiel).
Nun ist es kein großer Unterschied, ob man eine Liste mit 6 Einträgen hat oder eine Liste mit 2 Gewichten und 2 Einträgen. Aber bei umfangreicheren Problemen kann man sich da schon einiges sparen.
Ein Beispiel, wo es kaum anders geht als zu gewichten, ist der "Chi-Quadrat-Test", wo man eine Stichprobe in "Klassen" einteilen muss, um überhaupt rechnen zu können. Hier muss man dann abzählen, wie viele Elemente der Stichprobe in jeder Klasse liegen -- diese Anzahlen sind dann das "Gewicht" der Klasse. (Und andererseits ausrechnen, wie viele bei der zu prüfenden Verteilung im Mittel darin liegen.)
Ein Beispiel, das du vielleicht schon mal gesehen hast, ist der "Wahlomat". Hier kann man bei jeder Frage angeben, ob sie einem besonders wichtig ist; in diesem Fall werden die Punkte, die jede Partei für diese Frage bekommt, verdoppelt -- d. h. diese Frage bekommt das "Gewicht" 2. Da es hier nur darauf ankommt, wie die Parteien im Vergleich zueinander abschneiden, reicht es hier, die gewichtete Summe zu nehmen (außerdem sind Kommazahlen kleiner als 1 für "den Mann von der Straße" schwer verständlich).
Das Würfelspielbeispiel bezieht sich auf einen ungezinkten Würfel. Bei einem Würfel mit Eisengewicht drin ändert sich die Sache etwas -- hier ist das "gewichten" auch ein wenig wörtlich zu nehmen.
Danke für's Sternchen!
Wichtige Anwendungen des "gewichteten Mittels" außerhalb der eigentlichen Statistik sind Interpolationen, z. B. die lineare ( https://de.wikipedia.org/wiki/Interpolation_(Mathematik)#Lineare_Interpolation ), die baryzentrische ( https://de.wikipedia.org/wiki/Baryzentrische_Koordinaten#Baryzentrische_Interpolation ) und -- mit mehreren zu mittelnden Daten und komplizierteren Gewichtsfunktionen -- allgemeinere Interpolationen ( https://de.wikipedia.org/wiki/Interpolation_(Mathematik) )
Mir persönlich hat die lineare Interpolation ein wenig beim Verständnis des gewichteten Mittels geholfen.
Wie schon bei Wikipedia steht, werden die Summanden dabei vor der Addition gewichtet, mit einem Faktor multipliziert. Ich muss aber zugeben, ich verstehe den Sinn dahinter auch nicht. Das gewichtete arithmetische Mittel ergibt für mich eher Sinn, beispielsweise bei der Ermittlung des Notendurchschnittes. Zur Berechnung des gewichteten arithmetischen Mittels benötigt man im Zähler die gewichtete Summe und im Nenner die Summe der Gewichte.
Beispiel : Wenn der Notendurchschnitt in drei Klassen diese Werte hat
3 /// 3,2 /// 2,9
und man einen Gesamtdurchschnitt möchte, ist es sinnvoll auf die Klassengrößen zu achten.
die seien nun 30 // 33 // und 37 (damit es 100 wird :)) )
Dann ist der Gesamtdurchschnitt eine gewichtete Summe, die wie folgt berechnet wird:
3 * 30/100 + 3,2 * 33/100 + 2,9 * 37/100
ganz allmein : Wenn eine Summe A + B + C + D noch Faktoren (f1 - f4) bekommt, dann ist es eine gew Summe : f1 * A + f2 * B + f3 * C + f4 * D
