Spezielle Relativitätstheorie - Aufgabe zur Lichtuhr?
Hallo, ich hätte eine Frage zu einer Aufgabe im Bereich der speziellen Relativitätstheorie (Lichtuhr)? Ich hoffe es kann mir jemand helfen. LG Cassy
Um die Anzeige einer Atomuhr in Braunschweig mit den Atomuhren in Paris zu vergleichen (Entfernung s= 1000 km), brachte man sie nach Paris. Berechne mit welcher Geschwindigkeit (Betrag v) dies höchstens geschehen durfte, wenn der relativistische "Zeitfehler" unter 0,1 ns bleiben sollte. (Hinweis: Wurzel von 1-q = ungefähr 1-q/2 für q viel kleiner als 1)
1 Antwort
Eine Lichtuhr - ich weiß nicht, ob je eine in Realität gebaut wurde - dient in erster Linie Gedankenexperimenten zur Begründung des sogenannten Lorentz-Faktors
(1) γ := 1/√{1 – (v/c)²},
um den eine Uhr, die sich relativ zu einem gerade verwendeten Bezugssystem Σ mit der Geschwindigkeit |v› bewegt, im Verhältnis zur Zeitrichtung von Σ langsamer läuft. Und zwar eine beliebige Uhr, nicht nur eine Lichtuhr, denn Galileis Relativitätsprinzip besagt, dass ein Beobachter nicht anhand irgendwelcher physikalischer Befunde, eben auch nicht einer Diskrepanz zwischen seiner Lichtuhr und einer anderen Uhr, feststellen kann, ob, wie schnell und in welche Richtung er sich bewegt.
In dieser Aufgabe geht es um Atomuhren, die wegen ihrer präzisen Zeitmessung gut geeignet sind, auch sehr kleine Zeitspannen zu erfassen.
Die Braunschweiger Uhr muss um Δs verschoben werden, und wenn das mit v geschieht, ist die Zeitspanne (im Erd-System)
(2.1) Δt = Δs/v.
Während des Transports, geht die Braunschweiger Uhr um den Faktor γ langsamer als die Pariser Uhr. sollte sie vorher synchron gelaufen sein, dauert der Transport gemäß Braunschweiger Uhr nur
(2.2) Δτ = Δt/γ = Δs/γv = (Δs/v)√{1 – (v/c)²} ≈ (Δs/v)(1 – v²/2c²) = Δs/v – Δs⋅v/2c²,
Dafür war der Hinweis gedacht. Die Näherung können wir machen, weil v/c sicherlich viel kleiner als 1 sein wird. Aus (2.2) können wir sofort - leichter, als wenn wir die Wurzel stehen gelassen hätten - die Diskrepanz
(3.1) Δτ – Δt ≈ –Δs⋅v/c²
und durch Umformen
(3.2) v ≈ c²(Δt – Δτ)/Δs < c²⋅10⁻¹⁰s/10⁶m
erhalten. Trotz der Größe von c² (knapp 9×10¹⁶m²/s²) ist die Geschwindigkeit, die dabei herauskommt, gar nicht so groß. Ein Transport per Flugzeug (wie ich ursprünglich, vor der Rechnung, gedacht hatte) verbietet sich.
Vielleicht ist die Rechnung sogar etwas naiv, da Braunschweig und Paris eine kreisförmige Bewegung ausführen. Die Atomuhr während ihrer Reise ist so gesehen eher langsamer als schneller.
Δt ist nicht die Zeitdiskrepanz, das ist Δt − Δτ. Da muss ich übrigens einen Fehler gemacht haben bei (3.1), denn natürlich ist mit
(2.2) Δτ = Δs/γv ≈ (Δs/v)(1 − v²/2c²)
= (Δs/v) − (Δs∙v/2c²)
eben
(3.1.corr) Δt − Δτ = Δs∙v/2c²,
also
(3.2.corr) v = 2c²(Δt − Δτ)/Δs
= 2c²∙10⁻⁹s/10⁶m
= 1,8×10¹⁷∙10⁻⁹s/10⁶m
= 1,8×10² m⁄s = 180 m⁄s
Dies ist etwas mehr als die Hälfte der Schallgeschwindigkeit in Luft.
aber woher bekommt man die zeit delta t? es wird ja nur gesagt, um wieviel die Uhr maximal vorgehen darf?aber woher bekommt man die zeit delta t?