Sind alle Zahlen gleich?
Es ist mathematisch bewiesen, dass 1/3 den selben Wert wie 0,333... hat, doch wenn man beides mit drei multipliziert, kommt (1/3 x 3=) 1 und (0,333... x 3=) 0,999... raus. Wenn 1 und 0.999... somit gleich sind sollte jede Zahl mit doch eigentlich gleich sein, da man jede Zahl als Bruch darstellen kann, bzw. als Periode (5 = 20/4 und 5 = 5,000...). Wenn jede Zahl dann gleich ist, hat dann die Mathematik nicht als Sprache versagt und sollten wir uns dann nicht nach einer anderen Ausdrucksweise Ausschau halten, oder hab ich bei meinem vorherigen Beweis einen Fehler gemacht?
3 Antworten
1 = 0,99999... [mit periodischer Wiederholung der 9]
Soweit richtig. Genauso könnte man beispielsweise auch
5 = 4,99999... [mit periodischer Wiederholung der 9]
oder noch trivialer
5 = 5,0 = 5,00 = 5,000 = ...
5 = 5,000... [mit periodischer Wiederholung der 0]
betrachten.
Aber: Daraus folgt doch noch lange nicht, dass alle Zahlen gleich sind! Beispielsweise ist doch 1 ≠ 5. Warum bzw. wie denkst du, dass sich daraus 1 = 5 folgern lassen sollte?
also warum sollte nur zwischen 0,999 [mit periodischer Wiederholung der 9] und 1 dieser unendlich kleiner Bestandteil wegfallen
Der Anteil, um den es geht, ist nicht einfach nur „unendlich klein“, sondern exakt gleich 0.
Nur mal so nebenbei, falls du das denken solltest... Es gibt keine Zahl 0,00...01 mit unendlich vielen 0en dazwischen. Wenn du die Differenz 1 - 0,999... betrachtest, so gilt 1 - 0,999... = 0.
Und wenn du nun beliebig oft diese 0 zu 1 addierst, bleibst du weiterhin bei 1, und kommst so nicht bei 2 an.
und laut des Satzes des Nullprodukts ist Unendlich mal Null immer noch Null.
Nein. ∞ ⋅ 0 ist nicht einfach gleich 0. Sondern der unbestimmte Ausdruck ∞ ⋅ 0 ist nicht definiert.
Der Satz vom Nullprodukt gilt in nullteilerfreien Ringen, also insbesondere in den reellen Zahlen. Aber ∞ ist nicht ein Element der reellen Zahlen. Für ∞ ⋅ 0 gilt der Satz vom Nullprodukt nicht, da die Voraussetzungen des Satzes vom Nullprodukt nicht erfüllt sind.
Meine ganze Theorie beruht darauf, dass 0,999 [mit periodischer Wiederholung] = 1 ist, nur damit wir auf der selben Seite sind, du bist auch der Meinung, dass mir dabei kein Fehler unterlaufen ist, oder?
Das ist korrekt. Tatsächlich ist 0,999... = 1. ABER deine Schlussfolgerungen daraus sind nicht richtig.
Und nochmal als Ergänzung zum Teil...
„Zwischen jeder Zahl, ob 1 und 2 oder -76 und 654.395.568, ist ein unendlich große Anzahl an de unendlich kleinen Bestandteilen.“
Die Differenz 2 - 1 = 1 zwischen 1 und 2 besteht nicht aus unendlich vielen unendlich kleinen Anteilen. Denn wenn du den Abstand 2 - 1 = 1 durch den kleinen Anteil 1 - 0,999... = 0 zu teilen versuchst, wirst du auch feststellen, dass 1/0 nicht definiert ist, da Division durch 0 nicht definiert ist. Es ist nicht 1/0 = ∞, sondern 1/0 ist nicht definiert.
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0,999... ist einfach nur eine andere Darstellung der Zahl 1. Da gibt es keine echt positive Differenz dazwischen.
Genauso wie 2/2 oder 3/3 oder √(1) oder, oder, oder... ist auch 0,999 einfach nur eine andere Darstellung der gleichen Zahl 1.
Ich bin echt schlecht in Mathe und hab auch nicht so ganz gecheckt was du meinst aber um jetzt einfach mal die Mathematik zu verteidigen:
Hab mal n Doku geschaut da wurde ziemlich gut erklärt warum auch 0,9999... und 1 gleich sind
Kanns nicht wiedergeben und hab eigentlich keine Ahnung
Dein Taschenrechner rechnet eben mit einem gerundeten Wert, daher zeigt er dir bei 0,333... • 3 = 0,999... an.
Aber wie wäre es damit:
(I) x = 0,999...
(II) 10x = 9,999...
(II)-(I) 9x = 9 /:9
x = 1
1 = 0,999 [mit periodischer Wiederholung der 9]
Das heißt, dass ein unendlicher kleiner Bestandteil von 1 einfach wegfällt, also warum sollte nur zwischen 0,999 [mit periodischer Wiederholung der 9] und 1 dieser unendlich kleiner Bestandteil wegfallen? Zwischen jeder Zahl, ob 1 und 2 oder -76 und 654.395.568, ist ein unendlich große Anzahl an de unendlich kleinen Bestandteilen. Doch wenn dieser unendlich kleine Bestandteil 0 beträgt, bedeutet das, dass der Unterschied zwischen jeder Zahl ebenfalls 0 ist (Satz des Nullprodukts: Variable x 0 = 0).
Zwischen 1 und 2 ist demnach unendlich oft der unendlich kleine Bestandteil (0) vorhanden... und laut des Satzes des Nullprodukts ist Unendlich mal Null immer noch Null.
Meine ganze Theorie beruht darauf, dass 0,999 [mit periodischer Wiederholung] = 1 ist, nur damit wir auf der selben Seite sind, du bist auch der Meinung, dass mir dabei kein Fehler unterlaufen ist, oder?
Jedenfalls, trotzdem herzlichen Dank, dass sie auf meine Frage geantwortet haben, LG Vero