Rekursive Folge: Startwert?
Guten Abend,
für welchen Startwert a_0 ist die Folge
a_(n+1) = ((a_n)^2 + 3)/4
konvergent?
Ist das so richtig?
Sind deine a_n natürlich, reell, komplex, ganzzahlig, ...?
a_n komplex, a_0 reell
3 Antworten
Du kannst dir einen einfachen Trick überlegen:
Willst du wissen, für welche a_{0} das konvergiert, wenn n gegen unendlich geht, dann ist die Antwort alle Werte gegen die gegen die die Folge konvergieren kann, wenn n gegen unendlich geht. Wenn das gegeben ist muss a_{n} = a_{n + 1} sein, wenn a_{0} in a_{n} mit n gegen unendlich konvergiert.
Das können wir jetzt einfach umstellen:
Somit ist auch -3 eine Lösung, wie auch alle Werte dazwischen:
lautet die Bedingung in reellen.
Du kannst das ganze auch einfach funktionell betrachten und sagen, dass a_{n + 1} der Wert (Funktionswert) daraus ist a_{n + 1}(x) = ((a_{n})^2 + 3) / 4 also wären dann alle definierten Stellen von (f ○ f ○ f ○ ... ○ f)(x) ist, was du wiederum einfach am Graphen ablesen kannst:
Ich verstehe noch nicht, wieso man a_n und a_n+1 mit a_0 ausstauschen dürfte.
Man darf das nicht einfach so austauschen. Wir können das hier austauschen (siehe Banach Fixpunkttheorem).
Es beruht auf einer logischen Überlegung:
(1.) Wenn wir n gegen unendlich laufen lassen, dann fragen wir uns einfach nur, was passiert wenn wir die Formel unendlich anwenden. Konvergent ist das wenn dabei eine Zahl rauskommt (nennen wir sie einfach x). Wenn wir die Formel unendlich oft anwenden ziehen wir logischer Weise auch die Formel aus x, doch da x schon der letzte Wert (dein Ergebnis) ist, muss x eingesetzt in die Formel x selbst ergeben.
(2.) a_n+1 ist dein Ergebnis und a_n das was du in die Formel einsetzt. Gemäß den Gedankengang müssten beide Gleich sein, wenn n gegen unendlich geht (das besagt vereinfacht gesagt das Theorem). Dieser Wert a_n bzw. a_n+1 nennen wir einfach y.
Führen wir den Gedankengang von oben (1.) rückwerts durch,
dann sehen wir dass dieser Wert gegen den er konvergieren soll nur in einen Bereich zwischen zwei Stellen liegen kann die konvergieren, welche hier auch gleich den Wert x sin (1.), welchen wir aber in 2. y nannten, also können wir sagen, dass ein a_n mit n gegen unendlich gleich a_0 ist.
Damit erhalten wir die Gleichung die wir lösen.
Also einfach die Fixpunktgleichung gelöst?
Und wieso sind die Werte zwischen –3 und 3 auch Startwerte, die Konvergenz als Folge haben?
Die Lösungen der Fixpunktgleichung sind doch nur 1 und 3.
Also einfach die Fixpunktgleichung gelöst?
Jap.
Die Lösungen der Fixpunktgleichung sind doch nur 1 und 3.
Da r² mit einen reellen r immer positiv ist (da Achsensymmetrie), hat jedes mögliche a_0 was wir finden eine weitere Lösung mit sich gebracht (nämlich ihre Gegenzahl), was bei 1 und 3 dann -1 und -3 sind.
Und wieso sind die Werte zwischen –3 und 3 auch Startwerte, die Konvergenz als Folge haben?
"Die Werte dazwischen sind auch mögliche Lösungen, da alle Werte zwischen -3 und 3 in der Funktion selber einen Funktionswert zwischen -3 und 3 haben, was sie zwangsläufig konvergieren lässt. (das beruht auf Monotonie und Stetigkeit)"
Und wieso auch noch alle Werte zwischen 3 und –3?
Ich stehe gerade etwas auf dem Schlauch.
Und wieso auch noch alle Werte zwischen 3 und –3?
Die Werte dazwischen sind auch mögliche Lösungen, da alle Werte zwischen -3 und 3 in der Funktion selber einen Funktionswert zwischen -3 und 3 haben, was sie zwangsläufig konvergieren lässt. (das beruht auf Monotonie und Stetigkeit)
Achso, man verwendet einfach das Monotoniekriterium.
Man zeigt, dass für alle x_n gilt,
|x_n| ≤ 3,
und eben die (streng) fallende oder wachsende Monotonie?
Und konvergieren die Folge dann gegen 3 oder 1?
Habe meine Frage mit einem Foto ergänzt. Habe ich das so richtig gemacht?
Ist richtig.
Aber der Grund dafür warum sie genau dagegen konvergieren ist nicht vollständig.
Alle Aussagen sind wahr und die frage wann es konvergiert ist korrekt beantwortet, doch warum es genau zu den beiden Werten konvergiert lässt sich da nicht schlussfolgern.
*Da a=1 und a=3 die einzigen Lösungen der Fixpunktgleichung sind.
Die Konvergenz ist für die Startwerte -3, -1, 1 und 3 offensichtlich.
Für a_0 aus [-3,0] liegt a_1 in [0,3], d.h. die Untersuchung der Konvergenz kann sich auf das letztere Intervall beschränken.
Man zeigt, dass 1 < a_(n+1) < a_(n) für Werte von a_(n) zwischen 1 und 3. Oder 1 < f(x) < x, mit f(x) = (x^2 + 3)/4, eine Darstellung die schon in anderen Antworten vorgeschlagen wurde. Dies führt zu einer monoton fallenden Folge, die gegen 1 konvergieren muss.
Analog geht man für a_0 zwischen 0 und 1 vor.
Habe meine Frage mit einem Foto ergänzt. Habe ich das so richtig gemacht?
Ja. Vielleicht noch eine Präzisierung: Aus der Monotonie (und Beschränktheit) der Folge a_(n) folgt Konvergenz, aber nicht a priori gegen 1. Ein anderer Grenzwert als 1 müsste allerdings ein Fixpunkt sein und fällt damit aus.
Schau dir doch mal die Funktion f(x)=(x^2+3)/4 an un überleg dir, was daraus für mögliche "konvergente" Startwerte folgt. Versuche mal nachzurechnen, ob der Fixpunktsatz von Banach anwendbar ist. Ich habe das nicht gecheckt, aber der springt mir ins Auge. Wobei dieser hier nicht global anwendbar ist. Du musst dich also auf geeigente Unterräume einschränken.
Ich verstehe noch nicht, wieso man a_n und a_n+1 mit a_0 ausstauschen dürfte. Wenn man die tolle Grafik unten betrachtet, scheint es natürlich richtig, aber nachvollziehen kann ich es leider nicht :(