Rekonstruktion von Beständen- Spiralblume
ich versuch grad eine aufgabe in mathe zu rechnen weiß aber grad nicht wie ich anfangen soll. das thema sollen wir selbst erarbeiten und dann übungsaufgaben rechnen aber mir ist das grad alles zu hoch.
Die Wachstumsgeschwindigkeit v einer Spiralblume wurde in einer Graphik erfasst (.s.u.) a) Modellieren sie v durch eine quadratische Funktion. b) Zu Beginn der -tägigen Wachstumsperiode ist die Blume 1m hoch. Wie hoch ist sie am ende der Periode? c) Wann ändert sich die Höhe nur noch um 1cm/Tag? Wie hoch ist die Blume dann?
1 Antwort
(c) Die Zeit, t₀, kannst du selber bestimmen (am besten eine Antwort von so wohl der Modellierung als auch auch der Grafik geben). Dann vermittels der Darstellung aus (a) kann man die Höhe x(t₀) berechnen.
(b) Man bezeichnet mit x(t) die Höhe der Blume. Es gilt dx(t) / dt = v(t). Also muss man v(t) integrieren, um auf das x(t) zu kommen. Die Konstante des Integrals stellt man fest, indem den Wert (0; 100) für (t; x(t)) eingesetzt wird.
(a) Von der Grafik ist es völlig klar, welche Punkte gekannt sind, und zwar:
(0; 6); (1; 3); (3; 0).
- Die allgemeine Form einer Quadratfunktion ist v(t) = a·t² + b·t + c, wobei a, b, c ∈ R in der Modellierung zu bestimmende Konstante sind.
- Man berechnet: 6=v(0)=0+0+c, also ist c = 6
- 3=v(1)=a+b+c = a+b+6, also hat man die Gleichung: a + b = -3
- 0=v(3)=9a+3b+c = 9a+3b+6, also hat man die Gleichung 9a + 3b = -6
- Dies bildet ein Gleichungssystem mit 2 Unbekannten. Und die Lösung lässt sich leicht als a = 0,5 und b = -3,5 bestimmen.
- Also ist v(t) = 0,5·t² – 3,5·t + 6 ein Model des Problems.
Der Vollständigkeit halber schreibe ich den Rest der Lösung hier auf. Versuch mal erst selber. Danach deine Bemühung überprüfen.
Man kann jetzt den erwähnten Ansatz in (b) ausführen: x(t) = ∫ v(t) dt = 0,5/3 · t³ – 3,5/2 · t² + 6·t + K = 1/6 · t³ – 1,75·t² + 6·t + K, wobei K eine Konstante ist. Mit dem Einsatz von (0; 100) in (t; x(t)) kommt man auf den Wert von K. Und zwar so: 0–0+0+K = 100, also K=100. Also x(t) = 1/6 · t³ – 1,75·t² + 6·t + 100. Am Ende der Periode ist die Blume x(3) = 1/6 · 3³ – 1,75·3² + 6·3 + 100 = 106,75 cm hoch.
Für (c) werden die Werte wie folgt bestimmt. Zu finden ist t₀, so dass 1 = v(t₀). Von der Grafik gibt es eine relativ deutliche Antwort. Von dem Model ist 1 = 0,5·t² – 3,5·t + 6; also t² – 7·t + 10 = 0; also (t–5)(t–2)=0; also t=2 oder 5. Die Antwort sollte mit der Grafik so viel wie möglich übereinstimmen. Also, bei dem t₀ = 2. Tag ist dann der Wachstum 1cm/Tag. Bei diesem Zeitpunkt ist dann die Höhe x(t₀) = x(2) = 1/6 · 2³ – 1,75·2² + 6·2 + 100 = 106,33˙ cm.
Ich weiß diese Frage ist von 2013 aber vlt. Bekomme ich ja doch noch eine Antwort. Woher kennt man dieses (0;100)? Das ist für mich irgendwie nicht logisch😬
Haha! Siehe die Aufgabe:
>>> b) Zu Beginn der -tägigen Wachstumsperiode ist die Blume 1m hoch
Das Schulbuch scheint wohl immernoch aktuell zu sein haha. Wie ist man denn auf a=0,5 und b=-3,5 gekommen?