Reelle Zerlegung von z^4+z^3+3z^2+4z-4?

Dachte erst durch Polynomdivision, doch finde keine Nullstelle.

Kann mir jemand helfen?

MfG

Answer 1

[Aurel8317648]

Alle Koeffizienten sind ganzzahlig, somit ist es interessant, sich die Teiler der Konstanten -4 anzusehen:

2i und -2i sind Lösungen

somit Polynom durch (z-2i)(z+2i) = (z² + 4) teilbar

siehe auch:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=z%5E4%2Bz%5E3%2B3z%5E2%2B4z-4%3D0

Comments

[xXK1ll3rHDXx]

Ok Danke, wie genau bist du jetzt auf 2i und -2i gekommen?

[Aurel8317648]

@xXK1ll3rHDXx

also ich habe hier

https://www.wolframalpha.com/input/?i=z%5E4%2Bz%5E3%2B3z%5E2%2B4z-4%3D0

nachgeschaut :) aber:

Die  gaußschen Zahlen (nach  Carl Friedrich Gauß; englisch  Gaussian integer) sind eine Verallgemeinerung der  ganzen Zahlen in den  komplexen Zahlen

Quelle:

https://de.wikipedia.org/wiki/Gau%C3%9Fsche_Zahl

-4 = -4 + 0 * i ist somit eine gaußsche Zahl

die Teiler von -4 lauten somit:

-1, 1, -i, i, -2, 2, -2i, 2i, aber auch (1+i), (1-i), usw.

siehe:

https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_%C3%BCber_rationale_Nullstellen

[xXK1ll3rHDXx]

@Aurel8317648

ich hab jetzt z^2+z-1 als Ergebnis der PD, verstehe nicht wie ich jetzt weiter machen muss da z^4+z^3...-4 ja kein Bruch ist

[Aurel8317648]

@xXK1ll3rHDXx

.

von z^2+z-1 lann man noch die Nullstellen mit pq-Formel bestimmen bestimmen:

z1 = 0,68103 und z2 = -1,6180, somit z^2+z-1 = (z - 0,68103) * (z + 1,6180)

somit kann man das Polynom so zerlegen:

z^4+z^3+3z^2+4z-4 = (z² + 4) * (z - 0,68103) * (z + 1,6180)

[Aurel8317648]

@Aurel8317648

.

exakt:

z^4+z^3+3z^2+4z-4 = (z² + 4) * (z + (1+√5)/2) * (z + (1-√5)/2)