Rationalmachen des Nenners?

Wie kann ich bei folgender Aufgabe den Nenner rational machen?

Answer 1

[max32168]

Unter der Annahme, dass x und y positive reelle Zahlen sind:

$\sqrt{\frac{x}{y}}\cdot\sqrt{\frac{x}{y}+\sqrt{\frac{y}{x}}}$

Zuerst können die beiden Wurzeln zusammengezogen werden und der Nenner des letzten Bruchs (Wurzel unter der Wurzel) rational gemacht werden:

$\sqrt{\frac{x}{y}\left(\frac{x}{y}+\frac{\sqrt{x\cdot y}}{x}\right)}$

Der Term in der Wurzel kann dann ausmultipliziert werden:

$\sqrt{\frac{x^2}{y^2}+\frac{x\cdot\sqrt{x\cdot y}}{x\cdot y}}$

Anschließend können die beiden Brüche addiert werden, indem man diese entsprechend erweitert:

$\sqrt{\frac{x^2\cdot x}{y^2\cdot x}+\frac{x\cdot\sqrt{x\cdot y}\cdot y}{x\cdot y\cdot y}}=\sqrt{\frac{x^3+x\cdot y\cdot\sqrt{x\cdot y}}{y^2\cdot x}}$

Nun kann der Bruch mit x erweitert werden um anschließend die Wurzel weiter zu vereinfachen:

$\sqrt{\frac{\left(x^3+xy\sqrt{xy}\right)\cdot x}{y^2x\cdot x}}=\sqrt{\frac{x^2\left(x^2+y\sqrt{xy}\right)}{y^2x^2}}$

Das x² lässt sich kürzen und aus dem Nenner kann die Wurzel gezogen werden:

$\frac{\sqrt{x^2+y\sqrt{xy}}}{y}$ Damit hast du einen Bruch mit rationalem Nenner.

Comments

[MatthiasHerz]

Inwiefern ist denn der Nenner jetzt rationaler als in der Aufgabenstellung?

[max32168]

@MatthiasHerz

Die Aufgabenstellung lautet die Nenner rational machen. Damit ist gemeint, dass keine Wurzelterme mehr im Nenner stehen sollen. Das ist damit geschehen.

[MatthiasHerz]

@max32168

Warum können x und y keine negativen reellen Zahlen sein?

[max32168]

@MatthiasHerz

Natürlich können die Zahlen auch negativ sein. Ich habe sie nur als positiv angenommen, sodass ich bei den Umformungen im Bereich der reellen Zahlen bleibe. Wären sie teilweise negativ, könnte der Wurzelausdruck komplex werden.

Das ändert am Ergebnis zwar nichts, kann aber vielleicht für den ein oder anderen verwirrend sein.

Answer 2

[HeniH]

Hi,

Die Aufgabe ist leicht, aber wegen den vielen Wurzelzeichen, eben schwer hier darzustellen:

√(x/y) * √(√(x/y) + √(y/x))

Ausmultiplizieren:

√(√(x/y) * √(x/y) + √(x/y) * √(y/x)) =

√(√(x²/y²) + 1) =

√((x/y) + 1) =

√ ((x + y) / y) =

(x + y) * (√(y) / y 

Hoffentlich nachvollziehbar?

LG,

Heni

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung

Comments

[HeniH]

Vergiss es, ich habe gepennt. Vorgang von max ist richtig! Sorry!

Answer 3

[MatthiasHerz]

Schließe Null aus …

x, y ∈ ℚ ≠ 0

Comments

[max32168]

x und y können auch reell sein.

[MatthiasHerz]

@max32168

Na gut, dann gilt …

(x, y) ∈ ℝ

mit x ≠ 0 und y ≠ 0

und x / y ≥ 0 und y / x ≥ 0

und x / y + √(y / x) ≥ 0

Besser?

[max32168]

@MatthiasHerz

Besser liegt im Auge des Betrachters. Beide Aussagen sind grundsätzlich richtig. Du kannst den Zahlenbereich definieren wie du willst. Es ist nur wichtig beim Umformen sich der Konsequenzen bewusst zu sein.

Mit meinem Kommentar wollte ich nur darauf hinweisen, dass x und y nicht zwingend rational sein müssen.

Für deine zweite Festlegung würde es übrigens auch ausreichen zu fordern, dass beide Zahlen unterschiedliche Vorzeichen haben.