Quadratische Funktionen-welche Parameter stehen für was?
hey Leute, ich mache gerade quadratische Funktionen und ich frage mich welche Parameter für was stehen.
Woran erkenne ich, welcher Graph für welche gleichung steht?
Foto unten!
Lg
4 Antworten
Die allgemeine Funktion der Parabelgleichung lautet
y= a x^2 + b x +c
Daran erkennt man schon aus den Koeffizientem a und c etwas-
Ist a>0, dann ist die Parabel nach oben geöffnet,#
Ist a=0 handelt es sich nicht um eine Parabel, sondern um eine Gerade
Ist a<0 dann ist die Parabel nach unten geöffnet.
Ist |a| < 1 handelt es sich um eine erweiterte Parabel (d.h. die Parabel ist breiter als eine Normalparabel,#
Ist |a| = 1, handelt es sich um eine Normalparabel,
Ist |a| > 1 handelt es sich um eine verengte Parabel, die Parabel ist enger als eine Normalparabel
Der Psrameter c, gibt den y-Achsenabschnitt an. d.h. die Parabel schneidet die y-Achse im Punkt ( 0 | c ).
Wenn man die Funktionsgleichung umformt in die Scheitelpunktsform, kann man die Koordinaten des Scheitelpunktes auch direkt ablesen. Die Scheitelpunktsform einer Parabel mit dem Scheitelpunkt S ( xS |yS ) lautet;
y = a (x - xS )^2 + yS
Perfekt.
Man kann nur noch hinzufügen, dass b die Steigung angibt, unter der die y-Achse geschnitten wird.
Das ist allerdings ein Punkt, der im Schulunterreicht normalerweise nicht angesprochen wird, und der auch für diese Aufgabe irrelevant ist, weil es hier kein b gibt ...
Die Funktion ax²+c kann man wie folgt verstehen:
a entspricht allgemein der Steigung. Werte a>1 stauchen die Parabel im Vergleich zur Normalparabel x², Werte a<1 dehnen die Parabel. Ebenfalls wird hierüber die Öffnung der Parabel definiert und ist für Werte <0 entsprechend nach unten geöffnet.
Der Parameter c definiert den "Offset", also die Nullpunktlage. Das verschiebt die Parabel entlang der y-Achse nach oben oder nach unten um c.
Sogesehen verändert man die "Steigung" der Parabel, weil die Ableitung von 2x² dann beispielsweise 4x ist, wohingegen die Ableitung von x² nur 2x wäre. Aber grundsätzlich verändert sich die Form, da hast du Recht.
Ich schreib dir hier keine Regeln auf, sondern sage dir nur, dass du einfach einpaar Werte in die Funktionen einsetzen sollst. Bsp: x=0, x=1 oder x=-1
Dann merkst du schon welcher Graph zu welcher Funktion passt und vielleicht findest du auch heraus, wie es noch einfacher geht und wie du das direkt am Graph sehen kannst.
Viel Erfolg!
Es gibt 4 Eigenschaften, die ich der Reihe nach abgehen würde:
-Eigenschaft: nach oben oder unten geöffnet?
Nach oben geöffnet, dann steht ein Plus hinter dem =-Zeichen, also y= +....
Nach unten geöffnet, dann steht ein Minus hinter dem =-Zeichen, also y = - ...
-Eigenschaft: gestreckt, gestaucht oder Normalparabel?
gestreckt ("schmal und dünn"): der Faktor vor dem x ist größer als 1, also z.B. y = 4x²...
gestaucht ("breit und dick"): der Faktor vor dem x ist zwischen 0 und 1, also z.b. y = 0,25 x² ...
Normalparabel: der Faktor vor dem x ist 1 bzw. steht keine Zahl davor, also z.b. y = x² ...
-Eigenschaft: zur Seite verschoben?
nach
rechts verschoben: die Zahl in der Klammer ist negativ (also
umgekehrtes Vorzeichen), z.B. y = (x - 3)² ... die Parabel ist um 3
Einheiten nach rechts verschoben.
nach links verschoben: die Zahl
in der Klammer ist positiv (also umgekehrtes Vorzeichen), z.B. y = (x +
3)² ... die Parabel ist um 3 Einheiten nach links verschoben.
Eigenschaft: nach oben oder unten verschoben?
nach
oben verschoben: die Zahl nach dem hoch2 ist positiv, z.B. y = x² + 3
oder y = (x-2)² + 3, die Parabel ist um 3 nach oben verschoben
nach
unten verschoben: die Zahl nach dem hoch2 ist negativ, z.B. y = x² - 3
oder y = (x-2)² - 3, die Parabel ist um 3 nach unten verschoben.
Und dann gibt es ja noch Kombinationen: nach unten geöffnet, gestreckt, nach links und nach unten verschoben.
Soweit OK, nur der Begriff "Steigung" ist hier unglücklich, weil anders definiert.
Besser wäre m. E. so was wie "Öffnung" oder "Form".