Promis unter Palmen - wie rechnen?
Hallo Leute, gestern lief bei Promis unter Palmen (nein, das gucke ich natürlich nicht, denn es ist mir zu primitiv) diese Aufgabe:
Kaufe um 100 Euro hundert Stück Obst. Limonen kosten 50 Cent, Avocados 5 Euro und eine Kokosnuss 10 Euro. Das hat man ja bald einmal ausprobiert und gelöst.
Meine Frage ist: Wie RECHNET man das am Elegantesten?
5 Antworten
Da du nach einem deiner Kommentare ausdrücklich etwas Gerechnetes (möglichst?) ohne Ausprobieren haben willst ...
Diophantische Gleichungen sind ein nicht gerade einfaches Kapitel (bzw. gleich ein mehrbändiges Lehrbuch).
Anzahl Limonen "a", Anzahl Avocados "b", Anzahl Kokosnüsse "c".
Elimination von a ergibt
9 b + 19 c = 100
Jetzt kann man mit "Kongruenzen" (gleiche Reste bei Divisionen) weiterarbeiten:
9 b + 19 c ≡ 100 (modulo 9)
0 b + 1 c ≡ 1 (modulo 9)
c ≡ 1 (modulo 9)
sowie
9 b + 19 c ≡ 100 (modulo 19)
9 b ≡ 5 (modulo 19) | * 2
-b ≡ 10 (modulo 19)
b ≡ 9 (modulo 19)
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also
c = 9 c' + 1
b = 19 b' + 9
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Wenn auch negative Anzahlen Früchte zulässig sind/wären, kann/könnte man für c' und b' beliebige ganze Zahlen einsetzen und a daraus ausrechnen.
Weil aber a, b und c nichtnegativ sein müssen, gilt
0 <= 9 c' + 1 + 19 b' + 9 <= 100
0 <= 5 (9 c' + 1) + 10 (19 b'+ 9) <= 100
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-10 <= 9 c' + 19 b' <= 90
-95 <= 45 c' + 190 b' <= 5
Wenn b' bzw. c' < 0 wäre, wäre auch b bzw. c < 0. Also sind b' und c' ebenfalls durch 0 nach unten begrenzt.
Damit bekommen wir
0 <= 45 c' + 190 b' <= 5
und daraus
45 c' <= 5 - 190 b' <= 5 (da b' >= 0 ist)
190 b' <= 5 - 45 c' <= 5 (da c' >= 0 ist)
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c' <= 5 /45 = 1/9
b' <= 5/190 = 1/38
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Damit dürften genau alle Lösungen gegeben sein durch
0 <= b' <= Floor(1/9)
0 <= c' <= Floor(1/38)
Wobei Floor die "Gauß-Klammer" bedeutet, die größte ganze Zahl, die kleiner oder gleich der gegebenen Zahl ist. (Der Name ist der in der Programmierung übliche)
Wegen Floor(1/9) = 0 und Floor(1/38) = 0 gibt es genau eine Lösung.
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Wenn b' oder/und c' durch Zahlen größer oder gleich 1 nach oben begrenzt wären, gäbe es mehrere Lösungen. Wenn b' oder/und c' durch eine negative Zahl nach oben begrenzt wären, gäbe es keine Lösung.
WOW, danke. Der Text ist richtig schön aus Mathematischer Sicht.
Mit diesen Angaben nur
0,5L+5A+10K=100
L+A+K=100
Damit gibt es mehrere Lösungsmöglichkeiten, da 2 Gleichungen mit 3 Unbekannten. Ganz ohne ausprobieren, wird es auf dem Schulniveau nichts. Um aber zumindest nicht ganz wild alles probieren zu müssen:
Man nehme das günstigste (Limonen) mal 100 Stück = 50 Euro.
D.H. die Anzahl der teuersten Produkte (Kokosnüsse) kann maximal 5 sein (100€ - 50€ aus der vorherigen Rechnung = K*10€)
Man wähle beliebig ein K zwischen 1 und 5 und probiere, ob es für diese Anzahl der Kokosnüsse eine Lösung gibt.
Mit diesem Ansatz muss man zumindest nicht sehr viele Möglichkeiten durchrechnen, sondern kann die Rechnung (in diesem Fall) von vorn herein auf 5 Möglichkeiten begrenzen.
Das Problem ist, dass du 3 Unbekannte, aber nur 2 Gleichungen hast, also gibt es mehrere Lösungen.
Ich würde ein fach 90 Limonen setzen und dann den Rest mit Avocados und Kokusnüssen auffüllen
also: 5A + 10K = 55 (da 90 Limonen 45€ Kosten)
A + K = 10 (da schon 90 Obststücke verwendet)
5(10-K) + 10K = 55
50 - 5K + 10K = 55
5K = 5
K = 1
A = 9
L = 90
Aber wie gesagt, da es mehrere Lösungen gibt ist nicht nur diese Lösung richtig.
Bisher beste Antwort, weil Du das Problem erkannt hast. Doch unter dem Strich auch probiert, nicht gerechnet. Nur, weil es mehrere Lösungen gibt, ist das kein Hinderungsgrund, eine davon zu rechnen.
100 limonen sind erstmal 50€, fehlen 50, wenn du statt einer Limone eine avocado kaufst, hast du 4,50 weg. bei einer Kokosnuss sind das 9,50
Jetzt machst du aus 4,50 und 9,50 die fehlenden 50
Das geht nicht, denn weder mit 4,50 noch 9,5 noch mit 14 erhält man eine ganze Zahl als Teiler von 50. Ich denke es sollten schon ganze Obststücke sein.
Schulmathematik:
Erste Gleichung:
X+Y+Z=100
Zweite Gleichung:
10X+1/2Y+5Z=100
Durch Auflösen der ersten Gleichung nach Z und Einsetzen in die zweiten Gleichung kommen wir auf: Y=10/9X+800/9
Sowohl X als auch Y muss ja zwischen 0 und 100 liegen; wobei Y größer als 89 sein muss und X kleiner als 10 sein muss (Stichwort Y-Achsen-Abschnitt und Schnittpunkt mit der geraden Y = 100).
In diesen Intervallen gibt es nur ein einziges ganzzahliges Zahlenpaar : (1/90)
In eine der beiden oberen Gleichung eingesetzt ergibt sich das Z.
Die Frucht, um die es sich bei der Fruchtanzahl X, Y, Z handelt darf jetzt jeder selbst erraten ;-)
! Ja, so geht es. In meiner Schule lernte ich "lineare Optimierung" und konnte damit Unglaubliches lösen. Leider habe ich die nach so langer Zeit vergessen.
Danke.
Es ist eine "Diophantische Gleichung" - eine Gleichung, die ausschließlich ganzzahlige Lösungen fordert. Da kann es durchaus sein, dass es nur eine Lösung gibt. (In diesem Fall gibt es nur eine.)