Für welche Werte des Parameters k hat die folgende Gleichung 2 Lösungen: "x (3 x – 4) = k" Wie bestimmt man den Parameter k generell?

x * (3x-4) = k ... Ausmultiplizieren

3x² - 4x = k     | -k

3x² - 4x - k = 0

Möglichkeit1: abc-Formel

x1,2 = ( - b +- Wurzel( b² - 4ac ) ) / ( 2 * a ) mit a = 3, b = -4, c = -k

x1,2 = ( - (-4) +- Wurzel( (-4)² - 4 * 3 * (-k) ) ) / ( 2 * 3 )

x1,2 = ( 4 +- Wurzel( 16 + 12k ) ) / ( 6 )

Wenn 16 + 12k positiv ist, dann wird es zwei Lösungen geben.

16 + 12k > 0   | -16

12k > -16    | : 12

k > -16/12

k > -4/3

Antwort: Für alle reellen k > -4/3 hat die Gleichung x(3x-4) = k zwei Lösungen.

Möglichkeit2: pq-Formel

3x² - 4x - k = 0    | * 1/3

x² - 4/3 x - k/3 = 0

x1,2 = - p/2 +- Wurzel( (p/2)² - q ) mit p = -4/3 und q = -k/3

x1,2 = - (-4/3)/2 +- Wurzel( ( (-4/3)/2 )² - (-k/3) )

x1,2 = 2/3 +- Wurzel( (2/3)²  + k/3 )

x1,2 = 2/3 +- Wurzel( 4/9  + k/3 )

Auch hier ergeben sich zwei Lösungen wenn der Wert unter der Wurzel positiv ist.

4/9  + k/3 > 0     | - 4/9

k/3 > -4/9      | * 3

k > -4/9 * 3

k > -4/3

Antwort: Für alle reellen k > -4/3 hat die Gleichung x(3x-4) = k zwei Lösungen.

Wir wollen wissen, für welche Werte von k ∈ ℝ die Gleichung x (3x - 4) = k (1) zwei Lösungen (*) hat.

Um sicherlich alle Parameter k abzudecken, welche die obige Bedingung erfüllen, erweist sich folgendes Vorgehen als hilfreich:

Forme (1) nach null um. D.h.

x (3x - 4) = k <=> 3x² - 4x = k <=> 3x² - 4x - k = 0 (2)

Setze die Koeffizienten von (2) wenigstens in die Diskriminante der Mitternachtsformel ein:

=> x_1/2 = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)

Die Diskriminante D = b² - 4ac = (-4)² - 4 * 3 * (-k) = 16 - (-12k) = 16 + 12k mit k ∈ ℝ muss grösser gleich null sein, anderenfalls existiert keine reelle Lösung.

Wir wissen:

• Für D < 0 hat die Gleichung keine Lösung in ℝ.
  
• Für D = 0 hat die Gleichung genau eine Lösung in ℝ.
• Für D > 0 hat die Gleichung genau zwei Lösungen in ℝ (*).

(*) Wir suchen einen Wert k ∈ ℝ, der die zuletzt angeführte Bedingung erfüllt. Um k herauszufinden, setzen wir D = 0 und lösen nach k auf. Daraus folgt: k = -16/12 = -4/3.

Daraus folgt, dass (1) für alle k > -4/3 mit k ∈ ℝ zwei Lösungen hat.

Ich würde ausmultiplizieren, alles auf eine Seite bringen, normalisieren und pq-Formel anwenden. Entsteht unter der Wurzel ein positiver Ausdruck, so gibt es zwei Lösungen. Das heißt, du musst nochmal den Wert unter der Wurzel nullsetzen und nach k umformen.