Monotonieverhalten mit Parameter bestimmen?
Ich soll bestimmen für welchen Wert von a die Funktion streng monoton fallend ist, g(x)=x³+3x²-4ax+5
Wie funktioniert das? Danke im Voraus!
2 Antworten
Du sprichst in Rätseln; ich mag Leute nicht, die nicht mal die Aufgabenstellung korrekt wieder geben.
f ' ( x ) = 3 x ² + 6 x - 4 a = ( 1a )
= x ² ( 3 + 2 / x - 4 a / x ² ) ( 1b )
Für ( dem Betrage nach ) große x geht die Klammer gegen 3 ; d.h. die Steigung dieses Polynoms geht asymptotisch gegen ( + °° ) wie x ² . Dein a spielt doch überhaupt keine Rolle.
Jetzt könntest du natürlich her gehen und fragen: Fürwelche a gibt es überhaupt ein Intervall, auf welchem die Kurve fällt? ( Falls dies dein Interesse sein sollte. ) Jetzt muss man aber wissen; in der letzten Frage hatte ich es wieder betont:
" Alle kubistischen Polynome singen immer wieder die selbe ermüdende Melodie. "
Und zwar sind ===> topologisch drei Fälle zu unterscheiden:
1) Es gibt keine Extrema; der Graf verläuft streng monoton wachsend ( also Fehlanzeige )
2) Grenzfall: Der WP ist ein ===> Terrassenpunkt ( eben Falls ungeeignet )
3) Existieren die beiden Extrema, so hast du eine fallende Wendetangente.
Jetzt sollte man wissen; wie berechnet man diesen WP? Hier ich geb dir mal'n heißen Tipp für Formelsammlung, Regelheft und Spickzettel ( FRS ) Die 2. Ableitung vergiss; dein Lehrer hat sowieso keine Ahnung. Du gehst aus von der Normalform, die du sowieso schon gegeben hast:
f ( x ) := x ³ + b2 x ² + b1 x + b0 ( 2a )
b2 = 3 ; b1 = - 4 a ; b0 = 5 ( 2b )
Dann findest du den WP
x ( w ) = - 1/3 b2 = ( - 1 ) ( 2c )
also völlig unabhängig von a . Wäre nur noch die Steigung der Wendetangente gemäß ( 1a ) zu berechnen:
m ( w ) = 3 - 6 - 4 a = ( 3a )
= - ( 3 + 4 a ) ( 3b )
Du musst also a wählen
a > a ( krit ) = ( - 3/4 ) ( 3c )
f(x) streng monoton fallend <->
f ' (x)= 3x^2+6x-4a muss kleiner 0 sein
würde ich quadratische ergänzung machen um das lösen zu können:
0>
(sqr(3)*x)^2+2*sqr(3)*x*sqr(3) -4a
= (sqr(3)*x)^2+2*sqr(3)*x*sqr(3) +(sqr(3))^2 -(sqr(3))^2 -4a
=(sqr(3)+x)^2 -3-4a
ergo
(sqr(3)+x)^2 <3+4a
sqr(3)+x< +-sqr(3+4a)
x<+-sqr(3+4a)-sqr(3)
gucken wir weiter:
wenn 3+4a<0 ist, ist das erst gar nicht definiert.
d.h. für 4a<-3, a<-3/4 ist das ganze erst gar nicht definiert, d.h. kann gar nicht s.m.f. sein.
betrachten wir also die situation wen (3+4a)>0 ist.
hier müssen wir 2 Fälle unterscheiden:
Fall 1:
x<sqr(3+4a)-sqr(3)
gibts nicht viel zu sagen.
Fall 2:
x<-sqr(3+4a)-sqr(3)
gibts auch nicht viel zu sagen.
Fazit:
für a<-3/4 ist das ganze nicht s.m.f., d.h. a muss größer -3/4 sein damit es überhaupt streng monoton fallend sein kann.
und selbst dann ist es nur streng monoton fallend im bereich x<sqr(3+4a)-sqr(3)
(Der erste Fall "x<sqr(3+4a)-sqr(3)" enthält bereits den 2. Fall "x<-sqr(3+4a)-sqr(3)")
um deine Frage zu beantworten:
nur für a>-3/4 ist ein Teil der Funktion streng monoton fallend.
die ganze Funktion kann nicht streng monoton fallend, unabhängig vom a wert.