Maximum und Minimum bei quadratischen Funktionen?
2 Antworten
Von allen Rechtecken mit gleichem Umfang hat das Quadrat den größten Flächeninhalt. Diese Banalität ist hilfreich auf der Suche nach der Lösung.
a)
x ist um 4 größer als y. Den Mittelwert von x und y nenne ich k.
x = k + 2 und y = k - 2. Ausmultiplizieren von x*y zeigt, dass k^2 minimal sein muss.
Also k = 0, x = 2, y = -2.
Man zeichne die Gerade x - y = 4 in ein Koordinatensystem. r^2 = x^2 + y^2 beschreibt einen Kreis um den Koordinatenursprung mit dem Radius r. Wenn der minimal werden muss, ist die Gerade Tangente an den Kreis. Der Berührungspunkt ist wirklich x = 2, y = -2.
b)
Die verschiedenen Faktoren 2 und 3 vor x und y finde ich doof. Daher setze ich x1 = 2x und y1 = 3y. Wenn x*y maximal werden soll, dann auch x1*y1.
Also ist x1 + y1 = 5.
Den Mittelwert von x1 und y1 nenne ich k.
x1 = 5/2 - k, y1 = 5/2 + k.
Ausmultiplizieren von x1*y1 ergibt, dass k^2 minimal werden muss.
Also k = 0 und x1 = y1 = 5/2.
x = 5/4 und y = 5/6.
Man zeichne die Gerade 2x + 3y = 5 in ein Koordinatensystem. Gesucht ist die maximale Fläche eines Rechteck, von dem zwei Seiten auf den Koordinatenachsen liegen und ein Eckpunkt auf der Geraden. Die Gerade schneidet die x-Achse bei x = 5/2 und y = 5/3. Man kann zu Recht glauben, dass der gesuchte Eckpunkt bei der Hälfte, also x = 5/4 und y = 5/6 liegt. Wenn man es nicht glaubt, muss man nachrechnen ;-)
Bei beiden Aufgaben kannst du durch die Nebenbedingung y umschreiben, sodass es ein Term ist, welcher nur von x abhängt.
Diesen Term stetzt du dann statt y in die Funktion ein und du erhälst eine Quadratische Funktionen, dessen Minimum du bestimmen kannst.