Maximales Volumen ?
Moin und danke im Voraus.
Ich muss in Mathe eine Aufgabe lösen und war sehr lange krank.
Folgende Aufgabe:
Gegeben sind 120cm Draht. Aus diesem Draht muss man einen Quader mit dem Maximalen Volumen Bauen. Wie bekomme ich die Maße heraus?
Würdet mir sehr weiterhelfen.
4 Antworten
Hallo,
das ist eine Extremwertaufgabe.
Das Volumen eines Quaders berechnet sich nach der Formel V=a*b*c, wobei a, b und c jeweils eine von vier gleich langen Seiten sind, also die Maße von Breite, Tiefe und Höhe angeben.
Das Volumen soll unter der Bedingung maximal werden, daß alle 12 Kanten zusammen 120 cm lang sind. Da a, b und c jeweils vierfach vorkommen, bedeutet das:
4*(a+b+c)=120, also a+b+c=30.
Normalerweise wird die Zielfunktion abgeleitet und auf Null gesetzt, um die Extrema zu finden.
Hier hast Du gleich 3 Unbekannte, von denen Du durch die Nebenbedingung nur jeweils eine eliminieren kannst.
Du mußt also partiell ableiten, indem Du die Nebenbedingung in die Zielfunktion einbaust:
f(a;b;c;λ)=abc+λ*(a+b+c-30).
Der Faktor λ (lambda) ist eine Hilfsgröße, die nicht speziell berechnet zu werden braucht, sondern eher dazu dient, ein Gleichungssystem für a, b und c aufzustellen.
Da a+b+c-30 laut Voraussetzung 0 ergibt, wird die Gleichung durch den Term
λ*(a+b+c-0) im Ganzen nicht verändert, denn Du addierst letztlich nur eine Null.
Zunächst leitest Du nun nach a ab und setzt die Ableitung auf Null:
bc+λ=0
Dann nach b:
ac+λ=0
Dann nach c:
ab+λ=0
Schließlich noch nach λ:
a+b+c-30=0
Du hast vier Unbekannte und vier Gleichungen; die Sache ist also lösbar.
Da ac, bc und ab jeweils 0 werden, wenn die gleiche Zahl λ addiert wird,
müssen sie gleich sein:
ab=ac=bc
Da weder a noch b noch c gleich Null sein können, weil Du sonst keinen Quader erhalten würdest, kannst Du nach Ausklammern von a in der Gleichung ab=ac zeigen, daß gilt: ab-ac=0, also a*(b-c)=0, was nur sein kann, wenn b-c=0, also b=c.
Ebenso ist zu zeigen, daß a=c und damit natürlich auch a=b.
Wenn a=b=c=30, dann gilt a=10; b=10; c=10.
Du bekommst also einen Würfel mit 10 cm Kantenlänge und dem Volumen 10^3 cm^3=1000 cm^3=1 Liter.
Dieses Verfahren nennt sich Lagrange-Multiplikationsschema.
Herzliche Grüße,
Willy
Oh sorry war sehr hilfreich!! Ich danke dir wirklich!
Lernst Du an der Uni, gehört leider nicht zum Schulstoff.
Bei Schülern wird normalerweise die Einschränkung gemacht, daß der Quader eine quadratische Grundfläche besitzt. Dann hast Du nur noch zwei unbekannte Größen, von denen Du eine mit Hilfe der Nebenbedingung eliminieren kannst, so daß man eine Zielfunktion erhält, die nur noch von einer Variablen abhängig ist und ganz normal abgeleitet werden kann.
Das Lagrangeverfahren benötigt eine solche Einschränkung nicht.
λ muß dabei auch nicht unbedingt berechnet zu werden, sondern ist nur eine Hilfsgröße, die man normalerweise schnell wieder eliminert.
Du siehst, daß hier auch keine Berechnung von λ nötig war.
Du brauchst diese Größe aber, damit Du ein Gleichungssystem aufstellen kannst.
Ohne funktioniert die Sache nicht.
λ wird also aus dem Hut gezaubert, um danach bald wieder zum Verschwinden gebracht zu werden.
Auf YouTube gibt es gute Videos zu dem Verfahren, zum Beispiel dieses:
Vielen Dank! Solche Dinge sollten echt zum Mathematik-LK gehören, finde ich :)
Stimmt. Besonders, weil das partielle Ableiten nun wirklich nicht so schwierig ist und Gleichungssysteme ohnehin schon zum Schulstoff gehören.
Du leitest eben jeweils nach einer Variablen ab und behandelst die anderen Variablen einfach wie Konstanten.
Beispiel x²y ergibt nach x abgeleitet 2xy und nach y abgeleitet x².
Einmal ist das y einfach nur ein konstanter Faktor, wenn nach x abgeleitet wird, einmal ist x² der konstante Faktor, wenn nach y abgeleitet wird.
Bei uns kam das partielle Ableiten mal ganz kurz dran, wobei es, glaube ich, nicht im KC steht. Aber das Lagrange-Multiplikationsschema wird definitiv nicht behandelt.
Siehst Du, hast Du bei GF etwas gelernt, was Dir die Schule nicht bietet.
1) V=a*b*h
2) L=(2*a+2*b)*2+4*h Wir haben hier 3 Unbekannte,a,b und h aber nur 2 Gleichungen
2) nach h umgestellt und in 1) eingesetzt ergibt eine Gleichung der Form
f(x,y)=....
x und y sind 2 unabhängige Variablen
Um Extrema zu bestimmen,mass man hier Partiziell ableiten.
V´a(b)=0=... hier wird a=konstant betrachtet und b als unabhängige Variable
V´b(a)=0=--- hier wird b=konstant betrachtet und a als unabhängige Variable
Kapitel,Funktionen mit mehreren Veränderlichen
siehe das "vollständige" oder "totale Differential" z(x,y)=...
Na gut, ein Quader hat drei Kantenlängen a, b und c. Jede Kantenlänge kommt genau viermal vor. Das Volumen ergibt sich aus
V = a * b * c
Dabei gilt die Beschränkung:
4a + 4b + 4c = 120
Man kann sich daraus logisch erschließen, dass V maximal ist, sofern a = b = c gilt. Wir setzen x := a = b = c und folgern daraus:
V = x³
12x = 120
Aus Gleichung 2 erkennen wir:
x = 10
Die Maße sind demnach 10x10x10 und führen zu einem maximalen Volumen von
V = 10³ = 1000
Bei gegebener Oberfläche ist das Volumen maximal,wenn es ein Würfel ist
1) V=a*b*h
2) L=(2*a+2*b)*2+2*a*h+2*b*h (Umfang Grundfläche+Umfang Deckfläche +Umfang Mantelfläche)
Wir haben hier 3 Unbekannte a,b und h aber nur 2 Gleichungen.
Das ist so nicht lösbar.
man kann 2) nach h=...umstellen und in 1 einsetzen
Man hat dann eine Gleichung mit den 2 Variablen a und b.
Das Extrema kann man bei solchen Gleichungen durch die partielle Ableitung ermitteln,was ihr wohl noch nicht durchgenommen habt.
V(a,b)=.... abgeleitet nach a ,wobei die Variable b=konstant genommen wird
V´b(a)=0=...Ergibt die Extremstelle für die Variable a=..
dann abgeleitet nach b,wobei die Variable a=konstant genommen wird
V´a(b)=0=... ergibt die Extremstelle für die Variable b=...
Tipp: Nimm zuerst mal einen Würfel mit der kantenlänge a=120 cm/12=10 cm
und mach ein paar Proberechnungen
Würfel V=a³=(10 cm)³=1000 cm³
nun a=9 cm und b=11 cm über L=120 cm dann h=... ausrechnen
V=a*b*h und mit V=1000 cm³ vergleichen
Ein Quader hat 6 Flächen, 8 Ecken und 12 Kanten. Die Kanten sind alle gleichlang.
Wenn du ein Drahtgittermodell bauen willst, dann baust du mit dem Draht die Kanten nach.
Mehr brauchst du nicht an Information.
Ich muss das Genau volumen haben. WIe soll ich das denn machen haha.
Nun, du weißt doch nun hoffentlich, wie lang eine Kante ist.
Wie man das Volumen eines Würfels mit gegebener Kantenlänge ausrechnet, das weißt du auch.
Alles gut zurück. Ich bin auf Arbeit und hatte den Satz schon vor 30 min angefangen als das Telefon geklingelt hat.
Dann gib dir mal weiter schön Mühe mit Mathe und stell weiter gute Mathe-Fragen, dann kriegst du auch so nen guten Mathe-Job wie ich.
Das ist ja interessant! Steht das in irgendeinem Bundesland auf den Lehrplänen oder ist das schon Uni-Niveau?