Mathematischen Term umformen?

Guten Abend, beim rechnen einer Aufgabe verstehe ich nicht, wieso 1/n*(n+1)=1/n - 1/n+1 ist und wie man diesen Term umformt, um auf das genannte Ergebnis zu kommen. Über eine Aufklärung hierüber wäre ich sehr dankbar. Viele Grüße

Answer 1

[Prism97]

Manchmal ist es einfacher von der anderen Seite anzufangen. Auf einen gemeinsamen Nenner bringen und schon sieht man es :)

$\frac{1}{n\ }-\frac{1}{n+1}=\ \frac{n+1}{n\left(n+1\right)}-\frac{n}{n\left(n+1\right)}=\frac{n-n+1}{n\left(n+1\right)}=\frac{1}{n\left(n+1\right)}$

Oder soll das $\frac{1}{n}\cdot\left(n+1\right)$ auf der linken Seite sein?

Comments

[Mr7ister]

Nein, das macht es mir verständlich. Vielen Dank!!!

Answer 2

[evtldocha]

Dass es so ist kannst Du durch Bildung des Hauptnenners leicht nachrechnen:

$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\frac{1\cdot\left(n+1\right)}{n\cdot\left(n+1\right)}-\frac{n}{n\cdot\left(n+1\right)}=\frac{n+1-n}{n\cdot\left(n+1\right)}=\frac{1}{n\cdot\left(n+1\right)}$

Wie kommt man aber da drauf? Das Stichwort lautet "Partialbruch-Zerlegung". Dazu setzt man an:

$\frac{1}{n\cdot\left(n+1\right)}=\frac{A}{n}+\frac{B}{n+1}=\frac{A\cdot\left(n+1\right)+B\cdot n}{n\cdot\left(n+1\right)}$

Dann multiplizierst Du den Zähler aus, fasst zusammen und bestimmst die Bedingungen, die für A und B gelten müssen, damit der Zähler ganz links herauskommt (hier eine 1):

$\left(1\right)\ \left(A+B\right)\cdot n\ =\ 0$ $\left(2\right)\ A=\ 1$

Die erste Gleichung (2) ergibt sich, weil ganz links kein "n" (oder besser 0n) vorkommen und die zweite, weil eine 1 stehen bleiben muss:

Aus Gleichung (1) folgt $B=-A$ und da laut Gleichung (2) A = 1 ist, muss B = -1 sein. Und daher:

$\frac{1}{n\cdot\left(n+1\right)}=\frac{A}{n}+\frac{B}{n+1}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$