Mathematik steckbriefaufgaben 3. Grades?
Guten Abend,
die Aufgabe ist wie folgt:
Ermitteln Sie den Funktionsterm der im Steckbrief genannten Funktion.
Steckbrief:
Maximum (-2/10)
Graph verläuft durch (0/0) mit der Steigung -
würde mich über Hilfe freuen
vg
1 Antwort
Die allgemeine Form für ein Polynom 3.Grades lautet:
f(x) = a*x^3 + b*x^2 + c*x + d
Die Ableitungen folgen zu:
f´(x) = 3ax^2 + 2bx + c
f´´(x) = 6ax + 2b
f´´´(x) = 6a
Es gibt 4 Parameter, a, b, c und d, somit benötigen wir 4 Gleichungen um diese eindeutig zu bestimmen.
1.) Maximum bei M = (-2 | 10)
--> f´(-2) = 0 und f(-2) = 10
2.) Geht durch O = (0 | 0) mit Steigung -6
--> f´(0) = -6 und f(0) = 0
Insgesamt liegen also 4 Gleichungen vor, welche anschließend nach den gesuchten Paramtern umgeformt werden muss. So folgt:
(i) f(0) = 0 = d
(ii) f´(0) = - 6 = c
(iii) f´(-2) = 0 = 12a - 4b + c
(iv) f(-2) = 10 = (-8)*a + 4b - 2c + d
Hieraus folgt sofort mit (i) und (ii)
d = 0 und c = -6
--> (v) 0 = 12a - 4b - 6
--> (vi) 10 = (-8)*a + 4b + 12
Umgeformt und vereinfacht also:
(v) 3 = 6a - 2b
(vi) 1 = 4a - 2b
Hiermit folgt durch Subtraktion beider Gleichungen:
(vii) 3 - 1 = 2 = (6a - 2b) - (4a - 2b) = 2a
Und somit folgt: a = 1
Einsetzen in (vi) liefert damit:
(viii) 1 = 4 - 2b
--> b = (3/2) = 1.5
Zusammengefasst lautet die Funktionsgleichung des Polynoms also:
f(x) = x^3 + 1.5x^2 - 6x + 0 = x^3 + 1.5x^2 - 6x