Mathematik Hausaufgabe - wie mach ich das?
2 Antworten
Wenn Du Dir oben die beiden Graphen bzgl. einer Funktion f (dort Gf genannt) und ihrer Ableitung f' (im Bild Gg) anschaust, dann stellst Du fest, dass dort, wo f ihre Extremstellen hat, die Nullstellen von f' sind (die notwendige Bedingung für Extremstellen ist ja, dass die Steigung Null sein muss...); an den Wendestellen von f sind bei f' Extremstellen, d. h. also, dass an den Wendestellen die Steigung einer Funktion (lokal) am größten ist.
Mit diesen "Beobachtungen" kann man dann die 3a) einigermaßen gut skizzieren. Die Höhe der Steigungen, wenn es nicht um die Extremstellen geht, kannst Du etwas besser abschätzen, wenn Du ein Lineal als Tangente an z. B. den Wendepunkt hältst und dann die Steigung bestimmst.
Bei 3b) kommt die kleine Schwierigkeit hinzu, dass man nur durch aufgrund der Steigungen die Höhe der Funktionswerte nicht ohne weitere Details bestimmen kann. Das nötige Detail ist hier, dass f durch den Nullpunkt gehen soll. An die Höhe der einzelnen Punkte kommst Du nun, indem Du die Fläche zwischen Graph und x-Achse abschätzt und zwar von x=0 bis zur Stelle des Punktes, dessen Funktionswert Du ermitteln musst.
So hast Du z. B. bei f'(ca. 3,8) eine Nullstelle, also bei f eine Extremstelle - genauer einen Tiefpunkt, weil f' von minus nach plus wechselt. Die Fläche zwischen Graph und x-Achse entspricht ca. 4,5 Kästchen unter der x-Achse, und 1 Kästchen entspricht 1x1-Einheiten, also 1 FE (Flächeneinheit), d. h. der y-Wert des Tiefpunkts von f an dieser Stelle ist ca. -4,5. Auf diese Weise ermittelst Du einige Punkte von f um den Graphen relativ aussagekräftig zeichnen zu können.
Aufgabe 4) sollte dann auch machbar sein...
In dem oberen Graphen findest du bei den punkten lokale Maxima (f''(x)<0) und Minima(f''(x)>0), an denen es keine Steigung gibt (f'(x)=0), sowie Wendepunkte(f''(x)=/=0) sowie (f'''(x)>0 für rects-links oder f'''(x)<0 für links-rechts). Darunter ist ein lokales Minimum, vllt ein globales Minimum (nicht klar, da Funktion nicht bekannt, kann auch lokles Minimum sein) sowie Nullstellen, also Schnittpunkte mit der x-Achse. Berechnung von Schnittpunkten sollte dir schon seit der 7ten Klasse bekannt sein.
Bei 3a Ansonsten sieht man doch, wo die Steigung positiv ist (nach oben geht) und somit f'(x) größer 0 ist und wo sie negativ ist (nach unten geht) f'(x) kleiner 0 ist und wo sie 0 ist.
Bei 3b machst du das gleiche nur umgekehrt.
Bei 4 siehst du die Steigungen von den unteren Graphen. Auch da musst du nur gucken, wo die Steigung positiv ist f'(x)>0 bei den unteren Graphen also nach oben geht, negativ f'(x)<0 bei den unteren Graphen also nach unten geht oder gleich ist f'(x)=0, es also einen Extrem- oder Wendepunkt gibt.
5. Erste Ableitung gleich 0 setzen und x berechnen. Erklärung steht bei den anderen Aufgaben.