Matheaufgabe zu Vektoren?
Hallo :),
ich komme bei meinen Mathe HA nicht weiter: „Beweise mithilfe der Mittelpunktberechnung, dass sich bei einem Parallelogramm die Diagonalen halbieren.“
Könnte mir das einer vielleicht ausführlich erklären? Ich bin eine Niete in Mathe…Ich habe mir auch schon ein Erklärvideo angeschaut, verstehe es aber trotzdem nicht.
1 Antwort
Hallo,
zeichne ein Parallelogramm ABCD mit a=AB=DC und b=BC=AD auf.
Zeichne die Diagonalen c=AC und d=BD ein.
a und b spannen das Parallelogramm auf. Sie sind linear unabhängig, liegen also nicht auf einer gemeinsamen Geraden oder auf parallelen Geraden.
Die einzige Möglichkeit, daß eine Kombination aus Vielfachen von a und b den Nullvektor ergibt, ist dann gegeben, wenn a und b mit 0 multipliziert werden.
Wenn Du also von Punkt A aus in Richtung B gehst und irgendwo auf dieser Strecke in die Richtung von Vektor b abbiegst, könntest Du in dieser neuen Richtung niemals mehr Punkt A, den Ausgangspunkt erreichen, egal, wie weit Du in Richtung des Vektors b vor- oder zurückgehst.
Es ist sehr wichtig, daß Du das erst einmal verstanden hast, sonst erkennst Du den Trick bei dem weiteren Verfahren nicht. Es gibt keine Möglichkeit, daß r*a+s*b gleich Null ist, also zum Ausgangspunkt zurückführt; außer: sowohl r als auch s, Zahlen, die bestimmen, wie weit Du Dich auf den jeweiligen Vektoren bewegst, sind beide gleich 0.
Wenn Du bisher noch keine Skizze wie beschrieben gemacht hast, tu es jetzt, sonst tippe ich mir hier für nichts und wieder nichts die Finger wund.
Geh mit dem Finger von A aus ein Stück in Richtung B (oder auch in die andere Richtung) und von dort in Richtung oder Gegenrichtung des Vektors b, also parallel zu BC.
Du siehst: Auf diesem Weg kommst Du niemals mehr nach A zurück, denn die Voraussetzung lautet: Du kannst Dich zunächst auf Vektor a bewegen, dann irgendwo in Richtung des Vektors b abbiegen, aber dabei keine andere Richtung mehr einschlagen, die nicht parallel zu b verläuft. In diesem Fall bleibt A für Dich unerreichbar. Ausnahme: Du bewegst Dich gar nicht erst von A weg, gehst also 0 Schritte in Richtung a und auch 0 Schritte in Richtung b (drei Schritte in Richtung b und drei Schritte zurück darfst Du ja auch nicht, denn die einmal eingeschlagene Richtung darfst Du nicht mehr ändern: r*a+s*b=0, Du erinnerst Dich. Nicht 0*a+s*b-s*b=0 oder so etwas.
Die einzige Möglichkeit, die Gleichung bei linear unabhängigen Vektoren zu erfüllen, lautet 0*a+0*b=0. r und s müssen gleich Null sein, sonst kann das nicht funktionieren.
Nun weiter, wenn Dir das wirklich klar ist:
Du kannst auf dem Parallelogramm eine kleine Rundreise unternehmen. Wichtig ist dabei, daß der Schnittpunkt der beiden Diagonalen eine Etappe dieser Rundreise ist, nenne ihn S.
Die Rundreise beginnt wieder bei A, geht von da aus nach B, weiter nach S und zurück nach A.
Dabei liegt S, wenn Du von B aus startest, genau in Richtung der Diagonale d. Bist Du bei S angekommen, geht es über die Diagonale c (aber in Gegenrichtung) zurück nach A. Die Rundreise ist beendet und Du bist wieder da, wo Du begonnen hast wie Tiger und Bär auf ihrer Reise nach Panama.
In Vektoren ausgedrückt: a+r*d-s*c=0. Du gehst von A aus den Vektor a entlang nach B, dort ein Stück weit auf d, dann ein Stück zurück auf c.
Wie groß die Stücke sind, bestimmen die Faktoren r und s, die Längeneinheiten sind dabei natürlich die Längen der jeweiligen Vektoren.
Jetzt überlegst Du, daß d auch als b-a ausgedrückt werden kann und c als a+b. Wenn Du nicht weißt, warum, schlage noch einmal nach, was die Summe und die Differenz zweier Vektoren ergibt.
Wenn Du d durch b-a und c durch a+b ersetzt, lautet die Gleichung der Rundreise so:
a+r*(b-a)-s*(a+b)=0.
Ausmultiplizieren:
a+b*r-a*r-a*s-b*s=0.
a und b jeweils ausklammern:
a*(1-r-s)+b*(r-s)=0.
Also: Irgendetwas mal a plus irgendetwas mal b ergibt Null.
Wann kann diese Gleichung nur erfüllt sein, da a und b ja linear unabhängig sind?
Wenn irgendetwas immer gleich Null ist.
Es muß also gelten: 1-r-s=0 und r-s=0.
Aus der zweiten Gleichung wird sofort ersichtlich, daß r=s (einfach auf beiden Seiten s addieren).
Für s ein r in die erste Gleichung eingesetzt ergibt 1-r-r=0, also 1=2r und somit r=1/2. Da r=s, ist s natürlich auch gleich 1/2.
Damit die Rundreise funktioniert, gehst Du also erst von A nach B dann die Hälfte von d bis nach S, dann die Hälfte von c nach A zurück.
S liegt also sowohl auf dem halben Weg von A nach C als auch auf dem halben Weg von B nach D.
Genau das aber sollte gezeigt werden. Wenn S bei beiden Diagonalen genau auf der Mitte liegt, ist es logisch, daß sie sich gegenseitig halbieren.
Herzliche Grüße,
Willy
Danke, Dir auch. Freut mich, daß ich helfen konnte.
Hatte das früher selbst nicht kapiert und habe es mir auf diese Art erklärt.
Wirklich vielen vielen Dank für die ausführliche Antwort!!! Hast mir mega weitergeholfen. Wünsche dir einen schönen Tag freundlicher Fremder :)