Mathe: Probleme bei einer Aufgabe?
Ich habe zwar einen Ansatz, weiss jedoch nicht genau was rechnerisch bei b 9 zu tun ist.
1 Antwort
Hallo,
in der Aufgabenstellung wurde doch erklärt, wie es geht.
Das Schema der Funktion lautet f(t)=a*(1-e^(bt)).
Durch Einsetzen von f(20)=5,44 und f(40)=9,89 sollst Du a und b ermitteln.
Du bekommst durch Einsetzen von t=20 und t=40 zwei Gleichungen für zwei Parameter. Das sollte lösbar sein.
f(20)=5,44=a*(1-e^(20b))
f(40)=9, 89=a*(1-e^(40b)).
Da e^(40b)=e^(2*20b)=(e^(20b))^2, hilft der Rat mit der Substitution e^(20b)=z weiter:
5,44=a*(1-z) und 9,89=a*(1-z²).
Nach Auflösen beider Gleichungen nach a bekommst Du
a=5,44/(1-z)
a=9,89/(1-z²)
Das schreit geradezu nach dem Gleichsetzungsverfahren:
a=5,44/(1-z)=9,89/(1-z²).
Da 1z²=(1+z)*(1-z) kannst Du durch Erweitern des ersten Bruchs mit 1+z beide Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen und a durch Gleichsetzung der Zähler ermitteln, nachdem ±1 für z aus der Lösungsmenge ausgeschlossen wurde (Division durch 0).
5,44*(1+z)=9,89 (Der Nenner verschwindet nach Multiplikation beider Seiten mit 1-z²).
5,44+5,44z=9,89
5,44z=4,45
z=4,45/5,44=0,818 (gerundet).
Da z=e^(20b), folgt e^(20b)=0,818
20b=ln(0,818)
b=ln(0,818)/20=-001 (gerundet).
Nun ist es kein Problem mehr, a zu ermitteln.
Da a=5,44/(1-z) und z etwa 0,818, folgt a~29,89, also rund 30.
Herzliche Grüße,
Willy