Mathe Logikaufgabe?
Wir haben ein Sonnensystem bestehend aus einer Sonne und drei Planeten.
Die Sonne ist der Mittelpunkt des Systems und die Planeten kreisen in unterschiedlichen Abständen um eben diese.
Planet 1:
Der äußerste Planet befindet sich exakt nördlich der Sonne und benötigt 30 Jahre um diese zu umkreisen.
Planet 2:
Der mittlere Planet befindet sich exakt nördlich der Sonne und benötigt 2 Jahre um diese zu umkreisen.
Planet 3:
Der innere Planet befindet sich exakt östlich der Sonne und benötigt 1 Jahr um diese zu umkreisen.
Ich habe keinen blassen Schimmer :)
Nach wie vielen Jahren liegen die Sonne und die drei Planeten zum ersten Mal auf einer Linie, wenn man von der gezeichneten Ausgangsstellung ausgeht?
5 Antworten
Vielleicht mit diesem LGS?
0,25 + x = 2*y
0,25 + x = 30*z
15*y = z
Hallo,
auf jeden Fall wären sie nach 7,5 Jahren wieder auf einer Linie.
Der innere Planet steht dann auf 9 Uhr, der mittlere ebenfalls auf 9 Uhr, der äußere auf 3 Uhr.
Herzliche Grüße,
Willy
Das war zunächst einmal probiert, geraten und die Bewegungen im Geiste vorgestellt. Inzwischen habe ich aber auch einen Rechenweg gefunden. Auf einer Linie bedeutet, daß zwei Punkte auch um 180° versetzt sein können.
Betrachte zunächst die beiden äußeren Punkte, die den gleichen Startpunkt haben.
Der äußere schafft pro J0/7ahr 12°, der mittlere 180°, ist als 15mal so schnell.
Nach einem Jahr steht der Mittlere auf 6 Uhr, der Äußere ist vorgerückt auf die Position 12°.
Nun ist der Unterschied zwischen beiden 180°-12°=168°. Der mittlere Punkt läuft also pro Jahr 168° dem äußeren davon. Demnach sind die 12° Vorsprung gegenüber der Position, in denen beide auf einer Linie liegen, nach 12/168=1/14 Jahr aufgebraucht. Zusammen mit dem bereits verflossenen Jahr ergibt das 15/14 Jahre, nach denen der mittlere und der äußere Punkt wieder auf einer Linie sind. Alle 15/14 Jahre passiert dies. Der innere Punkt ist zu Beginn auf Position 3 Uhr, geht also 90° gegenüber den beiden anderen vor.
Die Position, an denen beide äußeren Punkte wieder in einer Linie sind, wandert pro Jahr um 12°*15/14=90/7 ° weiter. 90:90/7=7.
Nach sieben Begegnungen der beiden äußeren Punkte haben sie den inneren Planeten eingeholt (bzw. nicht eingeholt, sie sind ja langsamer, sondern sie haben sich so oft überrunden lassen, daß sie nun auf einer Linie auch mit diesem liegen).
7*15/14=15/2=7,5 Jahre.
Und dann kann man die Aufgabe auch als Rätsel betrachten, das man im Kopf lösen kann. Der Trick ist, dass Planeten sich auch gegenüber stehen dürfen.
Ich gehe davon aus, dass sich alles rechts rum dreht.
Ein Umlauf sind 1 = 360 Grad. (Norden ist 0 Grad und dann geht nach rechts)
Alles muss den gleichen Grad haben
(1/30 * x) mod 1 = (1/20 * x) mod 1 = (1 * x + 0.25) mod 1 :
0 <= a < 1:
1/30x = m + a
1/20x = n + a
x = l -0.25 + a
———————
20n + 20a = 30m + 30a
20n = 30m + 10a
Für den Fall, dass a > 0 ist, gibt es keine Lösung.
Für den Fall, dass a = 0 ist:
20n = 30m
2n = 3m
n = 1.5m
————
20n = l - 0,25
—> Es gibt keine Lösung, da n eine ganze Zahl sein muss.
——
Bitte korrigieren, falls falsch
Die Winkelgeschwindigkeiten sind
w1 = 2pi/30a
w2 = 2pi/2a
w3 = 2pi/1a
Die Startwinkel sind
ф1 = 0
ф2 = 0
ф3 = pi/2
Der Winkel x in Abhängigkeit von der Zeit t ist dann allgemein
x(t) = w*t + ф
Also:
x1(t) = 2pi*t/30a
x2(t) = 2pi*t/2a
x3(t) = 2pi*t/1a + pi/2
Nun suchen wir eine Zeit t, sodass die Winkel sich um ein Vielfaches einer ganzen Umdrehung unterscheiden:
x1(t) = x2(t) + m*2pi
x2(t) = x3(t) + n*2pi
Also erhalten wir folgendes Gleichungssystem:
2pi*t/30a = 2pi*t/2a + m*2pi
2pi*t/2a = 2pi*t/1a + pi/2 + n*2pi
Wir haben also zwei Gleichungen für drei Unbekannte t, m und n, wobei m und n ganzzahlig sind.
Die Gleichungen werden etwas einfacher, wenn man durch 2pi dividiert:
t/30a = t/2a + m
t/2a = t/1a + 1/4 + n
Eliminieren wir t, um eine Gleichung in den zwei ganzzahligen Unbekannten m und n zu erhalten:
Die zweite Gleichung gibt, umgestellt nach t:
t = -2a*( n + 1/4)
Eingesetzt in die erste Gleichung:
-(n + 1/4)/15 = -(n + 1/4) + m
Aufgelöst nach m:
m = 14*(n+1/4)/15
Multiplizieren wir mit 15, um den Bruch wegzukriegen, und multiplizieren die Klammern aus:
15m = 14n + 7/2
Multiplizieren wir noch mit 2, um den verbleibenden Bruch wegzukriegen:
30m = 28n + 7
Nun sehen wir, dass die linke Seite für jedes m gerade ist und die rechte Seite für jedes n ungerade, also hat die Gleichung keine ganzzahligen Lösungen, die drei Planeten werden also nie gleich ausgerichtet sein.
Nie ist ein hartes Wort. Zu keinem ganzzahligen Jahreswert passt eher.
Nein, tatsächlich nie, denn die Zeit t durfte ja beliebig sein, nur m und n mussten ganzzahlig sein, damit die Planeten auch wirklich gleich ausgerichtet sind (der Drehwinkel also ein ganzzahliges Vielfaches einer vollen Umdrehung beträgt).
Stimmt. Ändert sich das Ergebnis, wenn du Vielfaches einer halben Umdrehung einsetzt? Wenn ein Planet vom anderen aus gesehen hinter der Sonne steht?
Ja, dann wäre es anders. Denn dann hätten wir
30*m/2 = 28*n/2 + 7
Also:
15m = 14n + 7
Hier ist die rechte Seite wieder ungerade, die linke kann je nach m gerade aber auch ungerade sein. Da kann man also versuchen Pärchen m und n zu finden, die das System lösen.
Zum Beispiel für m=7 und n=7 ist 15m = 15*7=105 und auch 14n+7 = 14*7+7=105.
Ich habe zugegebenermaßen in deinen Rechnungen den Faden verloren. Was heißt m=n=7 für t? Und ist das das kleinste t?
t = -2a*( n + 1/4)
Also für n=7 wäre t=-14,5a, der Zeitpunkt wäre also in der Vergangenheit. Um einen Zeitpunkt in der Zukunft zu finden, bräuchten wir ein Pärchen m und n, wo n negativ ist...
15 * -7 = 14 * -8 + 7
t = -2 * (-7,75) a = 15,5 a ( a = Jahre)
Oder?
Das Ergebnis sieht so einfach aus, dass ich den Verdacht habe, man hätte auch einfacher drauf kommen können.
Nach 15,5 Jahren steht der innere Planet auf 270°, aber der äußere auf etwas mehr als 180°. Wo ist der Fehler?
Die Familie ruft zum Brunch. Mal sehen was am Ende dabei herauskommt.
Das liegt daran, dass wir da mit halben Umdrehungen rumgewurstelt haben. :) Es muss also dann
t = -2a*(n/2 + 1/4)
sein, in unserem Fall also
t=-7,5a
Und da kommen dann 90° oder 270° raus, die Planeten sind also entlang derselben Geraden ausgerichtet, aber nicht unbedingt auf derselben Seite der Sonne.
... Aber irgendwann muss doch, oder?
Kannst du das bitte mal noch weiter aufdröseln... Halt tage-/stunden-minutengenau???
Oder eben andersrumdrehend
Weil ich kann sowas echt gar nicht, bin aber total fasziniert und diese blöde Frage wird mir den ganzen Tag nicht aus dem Kopf gehen und mich endlos quälen... 😭😭😭
Nee, muss nicht. ;) Stell dir vor, die haben alle dieselbe Umlaufzeit, dann werden sie ja auch nicht irgendwann alle gleich ausgerichtet sein, weil der dritte Planet immer um eine Viertelumdrehung versetzt sein wird.
Hier sind die Umlaufzeiten zwar nicht alle gleich, aber Vielfache voneinander, deshalb klappt es auch nicht.
Ist die Drehrichtung nicht von Bedeutung oder gibt es eine Lösung für die andere Drehrichtung, wenn es eine Lösung für diese Drehrichtung gibt?
Oha, guter Punkt, die Lösung klappt natürlich nur für den Fall, dass sich die Planeten im Uhrzeigersinn kreisen, sonst ändert sich ein Vorzeichen...
Aber auch in diesem anderen Fall wird es keine Lösung geben, mit demselben Argument.
Wieder mal ein Lehrer, der keine Ahnung hat, wovon er spricht.
,,Nördlich der Sonne"!! Wenn ich das schon hör!!
vielleicht war es auch irgendein Zeitungsfritze, der sich ein Rätsel ausgedacht hat.
der Fritze hat es bezogen auf die Zeichnung korrekt gemacht : er will eben nur : Im Norden : damit ausdrücken.
Danke …..aber versteh leider immer noch nicht den Lösungsweg 🤷🏿♂️