Mathe Kurvendiskussion?

Kann jemand bei dieser Frage bitte helfen. Komme leider nicht weiter.

Answer 1

[gauss58]

h / d = 1 / 2

Das Verhältnis ist unabhängig von der Fläche A.

Es erfordert aber eine längere Rechnung, hier in Kürze:

Extremalbedingung:

U(d, h) = d + 2 * h + d * π / 2 → Min.

Nebenbedingung:

A = d² * π / 8 + d * h = konstant

h = (A / d) - d * π / 8

h in die Extremalbedingung einsetzen:

U(d) = d + 2 * ((A / d) - d * π / 8) + d * π / 2

U(d) = d + (2 * A / d) + d * π / 4

U'(d) = 1 + (π / 4) - 2 * A / d²

Erste Ableitung gleich Null setzen und nach d umstellen:

d = √(8 * A / (4 + π))

h laut Nebenbedingung bestimmen:

h = (A / √(8 * A / (4 + π))) - (π / 8) * √(8 * A / (4 + π))

Das gesuchte Verhältnis bilden:

h / d = [(A / √(8 * A / (4 + π))) - (π / 8) * √(8 * A / (4 + π))] / √(8 * A / (4 + π))

Die Wurzel kann man im ersten Schritt beseitigen und A fällt auch heraus. Das führt nach ein paar Umformungen zu:

h / d = 1 / 2

Comments

[Nadia52]

Was meinst u einpaar Umformungen?

[gauss58]

@Nadia52

Die letzte Gleichung muss umgeformt werden, um h / d = 1 / 2 zu erhalten.

h / d = [(A / √(8 * A / (4 + π))) - (π / 8) * √(8 * A / (4 + π))] / √(8 * A / (4 + π))

h / d = (A / (8 * A / (4 + π))) - (π / 8)

h / d = ((4 + π) / 8) - (π / 8)

h / d = (4 / 8) + (π / 8) - (π / 8)

h / d = 1 / 2