Mathe frage bitte schnelle antwort?

Question

Felix verteilt seine 29 1 Euro Münzen so auf vier Spardosen, das gleich viele in jeder Dose sind

und fünf übrigbleiben. Es befinden sich nun in jeder Dose sechs 1 Euro Münzen, eine jeweils

mehr, als übrig sind.

Seine Tochter Theresa sieht ihrem Papa beim Verteilen der 1 Euro Münzen zu und fragt sich

dabei, ob man auch 2024 1 Euro Münzen nach dem obigen Muster verteilen kann.

Wie viele Dosen müsste Theresa nehmen, wenn nach dem Verteilen der 2024 Münzen die Anzahl der 1 Euro Münzen

in jeder Dose gerade um eins größer sein soll also die Anzahl der 1 Euro Münzen, die übrig bleiben? Es soll dabei

stets mindestens eine 1 Euro Münze übrigbleiben.

Ist eine Verteilung überhaupt möglich? Wenn ja, gebt alle Möglichkeiten des Verteilens an.

Finsterladen · Answer

Was du suchst ist ja die Anzahl Dosen. Das nennen wir also x.

Um auf die Lösung zu kommen, schauen wir uns am besten das Beispiel an. Du hast 29 Münzen. Diese willst du auf die Dosen verteilen und auf den Stapel mit den übrig bleibenden Münzen. Mathematisch hättest du dann:

Du hättest also bei gleichmäßiger Verteilung 5,8 Münzen. Allerdings wissen wir, dass bei unserem Haufen eine Münze fehlt.

Am einfachsten ist es, wenn du dir denkst, dass du eigentlich 1 Münze mehr hast und alle Münzen gleich verteilst.

Du hast also 6 Münzen pro Dose und dementsprechend 5 Münzen auf dem Haufen mit übrig gebliebenen Münzen.

Deine Aufgabe ist jetzt die Anzahl der Dosen so zu wählen, dass unsere Rechnung aufgeht. Unser Ergebnis muss also eine Ganzzahl sein und keine Dezimalzahl.

Geh folgendermaßen vor:

Gleichung für 2024 Münzen aufstellen (vergiss die 1 extra Münze nicht)
Überlege für welches x (Anzahl der Dosen) du eine Ganzzahl als Ergebnis bekommst.
Gibt es noch weitere Lösungen?

indiachinacook · Answer

Wir haben N Münzen und n Dosen. Nun wollen wir eine unbekannten Anzahl Münzen a in jede Dose werfen, und es sollen a−1 Münzen übrigbleiben. Die Gesamtanzahl der Münzen ist dann N = na + a−1 = a(n+1)−1; das können wir nach a auf­lösen und erhal­ten a=(N+1)/(n+1).
Im gegebenen Beispiel hatten wir N=29 Münzen und n=4 Büchsen, lt. der abgeleiteten Gleichung muß man dann in jede Büchse a=(29+1)/(4+1)=30/5=6 Münzen geben, das stimmt also. Das ist aber nicht die einzige ganzzahlige Lösung für N=29 Münzen, denn:

Du nimmst n=1 Büchse und gibst a=15 Münzen hinein, es bleiben a−1=14 Münzen übrig
 Du nimmst n=2 Büchsen und gibst in jede a=5 Münzen, dann bleiben a−1=4 Mün­zen übrig.
 Den Fall n=4 kennen wir bereits.
 Du kannst aber auch n=5 Büchsen nehmen und a=5 Münzen in jede geben, dann bleiben korrekt a−1=4 Münzen übrig.
 Oder n=9 Büchsen mit je a=3 Münzen, dann bleiben a−1=2 Münzen übrig.
 Die letzte mögliche Lösung ist n=14 mit a=2 Münzen pro Büchse, es bleibt eine Münze übrig.
 Zuallerletzt gibt es auch noch eine triviale Lösung, nämlich 29 Büchsen mit je einer Münze und keinem Rest. Laut Angabe soll die aber nicht mitgezählt werden.
 Die möglichen Büchsenanzahlen sind also n=1,2,4,5,9,14. Das sind genau die Zah­len, für die a=(N+1)/(n+1) ganzzahlig ist.

Wir haben also gelernt, daß es für eine gegebene Münzenanzahl N mehrere Lö­sun­gen geben kann, also mehrere mögliche Büchsenanzahlen n, für die die Aufteilung der Mün­zen wie beschrieben funktionieren kann. Alle diese Lösungen findet man, indem man die echten Teiler von N+1 betrachtet; die Büchsenanzahl ist jeweils um 1 kleiner als die­se Teiler.
Nun wollen wir den Fall N=2024 betrachten, dazu brauchen wir die Teiler von N+1=​2025=3⁴⋅5². Die Teiler sind also 3, 3²=9, 3³=27, 3⁴=81, 5, 5⋅3=15, 5⋅3²=45, 5⋅3³=135, 5⋅3⁴=405, 5²=25, 5²⋅3=75, 5²⋅3²=225 und 5²⋅3³=675.
Die möglichen Büchsenanzahlen für N=2024 Münzen sind also jeweils um Eins klei­ner als die Teiler von 2025, das sind die möglichen Zahlen n=2,​4,​8,​14,​24,​26,​44,​74,​80,​134,​224,​404,​674 und die zugehörigen Werte für die Anzahl der Münzen pro Büch­se sind a=(N+1)/(n+1)=675,​405,​225,​135,​81,​75,​45,​27,​25,​15,​9,​5,​3. Es gibt also genau 13 Lösungen für das Problem.
Ein Beispiel aus dieser Liste im Detail: Du nimmst n=24 Büchsen und wirfst jeweils a=(N+1)/(n+1)=81 Münzen hinein. Dann hast Du insgesamt 24⋅81=1944 Münzen auf die Büchsen verteilt, es bleiben 2024−1944=80 Münzen übrig, und das sind genauso wie vorgeschrieben eine weniger als die Münzenanzahl pro Büchse.

tunik123 · Answer

Ich borge mir noch eine Dose und eine Münze. Dann verteile ich die Münzen auf die Dosen.

Und dann schütte ich die geborgte Dose aus und gebe die Dose und die geborgte Münze zurück.

Beispiel: vier Dosen und 29 Münzen

Ich verteile dann 30 Münzen auf fünf Dosen.

Das können 5 Dosen zu je 6 Euro sein -> 4 * 6 + 5 = 29,

aber auch z.B. 10 Dosen zu je 3 Euro -> 9 * 3 + 2 = 29.

Die Primfaktorzerlegung von 2025 ist 3 * 3 * 3 * 3 * 5 * 5.

Da gibt es sehr viele Möglichkeiten.

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