könntet ihr es mir bitte für die nummer 6 7 8 und 9 erklären?
Ich soll Aufgabe 6,7,8 und 9 machen
Aber ich verstehe kein einzige Aufgabe.
2 Antworten
Es geht um die sogenannte
https://www.frustfrei-lernen.de/mathematik/scheitelpunkt-ablesen-bestimmen-formel-parabel.html
über diese kannst du den Extremwert der Parabel leicht ablesen. Hast du die Form
f(x) = a(x - x_0) + y_0
gegeben, dann wird der Extremwert y_0 an der Stelle -x_0 angenommen.
Wie du die Normalform in die Scheitelpunktform überführen kannst steht im verlinkten Artikel.
Aber ich verstehe kein einzige Aufgabe könntet ihr es mir bitte erklären
Genau das ist der springende Punkt. Wenn man das Prinzip nicht verstanden hat, steht man vor solchen Aufgaben wie der Ochs vorm Berg. Hat man das Prinzip aber verstanden, sind die Aufgaben ganz leicht zu lösen.
Erst mal die Erklärung des Prinzips:
Parabeln lassen sich grundsätzlich in drei verschiedenen Darstellungsformen schreiben, die aber alle zum selben Ergebnis, also zum selben Graphen führen. Was vor dem Gleichheitszeichen steht, ist nicht eindeutig festgelegt. Üblich sind
y = .....
oder
f(x) = ....
Hier wird offensichtlich die Schreibweise
T(x) = ....
gewählt und für die korrigierte Funktion soll wohl
G(x) = .....
gewählt werden.
1) Die Normalform:
f(x) = ax^2 + bx + c
a ist der sogenannte Streckunsfaktor. Die Größe von a gibt an, ob die Parabel eher flach (gestaucht) oder ziemlich steil ist.
Wenn a positiv ist (a > 0), dann ist die Parabel nach oben offen.
Wenn a negativ ist (a < 0), dann ist die Parabel nach unten offen.
Wenn a = 0 ist, verschwindet der Term mit x^2 und es bleibt übrig: y = bx + c. Das ist dann aber keine Parabel mehr, sondern eine Gerade. Daher darf a nicht zu 0 werden.
b sagt nichts aus, damit können wir nicht viel anfangen.
c gibt an, welchen Wert die Funktion für x = 0 hat, denn dann wird auch ax^2 und bx zu 0. c ist der y-Wert, bei dem die Parabel die y-Achse schneidet.
2) Die Scheitelpunktform. Um die geht es hier bei den Übungen. Daher erläutere ich die anschließend noch genauer.
3) Die Nullstelllenform. Die sieht so aus:
f(x) = a(x - x01) * (x - x02)
a ist wieder der Streckungsfaktor wie in der Normalform. x01 und x02 sind die beiden Nullstellen, also die x-Werte, bei denen die Parabel die x-Achse schneidet.
Alle drei Darstellungsformen, also Normalform, Scheitelpunktform und Nullstellenform lassen sich ineinander umrechnen.
Kommen wir also auf die Scheitelpunktform zurück. Die schreibt sich:
f(x) = a(x - d)^2 + e
Den Scheitelpunkt bezeichnet man meistens mit dem Buchstaben S und der hat die Koordinaten d (x-Wert) und e (y-Wert). Daher schreibt man auch S(d/e).
Aber auch hier werden unterschiedliche Buchstaben verwendet. In deinem Fall wird statt d das m und statt e wird das n verwendet. Außerdem wird statt (fx) ein T(x) verwendet.
Damit hat die Scheitelpunktform bei dir die Schreibweise:
T(x) = a(x - m)^2 + n
und der Scheitelpunkt hat die Koordinaten S(m/n)
Der Scheitelpunkt hat nun die Eigenschaft, dass er gleichzeitig das Maximum oder Minimum der Parabel ist. Welches von beiden zutrifft, hängt alleine von a ab. a ist wie in der Normalform und der Nullpunktform wieder der Streckungsfaktor. Rechnet man eine Darstellungsform in eine andere um, bleibt a immer gleich.
Wenn a positiv ist, also a > 0, ist die Parabel nach oben offen und der Scheitelpunkt ist der tiefste Punkt der Parabel. Dann sind die Koordinaten von S gleich dem Minimum der Parabel, also stellen die Koordinaten von S gleichzeitig Tmin dar.
Wenn a negativ ist, also a < 0, ist die Parabel nach unten offen und der Scheitelpunkt ist der höchste Punkt der Parabel. Dann sind die Koordinaten von S gleich dem Maximum der Parabel, also stellen die Koordinaten von S gleichzeitig Tmax dar.
Mit diesem Wissen sind die Aufgaben leicht lösbar.
Fangen wir mit 6a) an:
Gegeben:
T(x) = -2(x - 1)^2 + 4
und es soll überprüft werden, wo da mindestens 1 Fehler steckt, wenn
Tmax = 4 für x = -1 gelten soll.
Dazu müssen wir immer 3 Punkte nacheinander abchecken:
1) Tmax....wenn der Scheitelpunkt das Maximum darstellen soll, muss a negativ sein. Da hier a = -2 ist, ist das korrekt.
2) Der Scheitelpunkt soll bei x = -1 liegen. Damit ist m = -1. Dann müsste die Klammer (x - m)^2 lauten:
(x - (-1))^2 = (x + 1)^2
Hier liegt also ein Fehler vor.
3) Für x = - 1 muss T(x) = n = 4 sein.
Zur Erinnerung: die allgemeine Scheitelpunktform lauetet T(x) = a(x - m)^2 + n
also muss hier n = 4 sein und das ist es bei T(x) = -2(x - 1)^2 + 4 auch.
Wir haben also einen Fehler entdeckt und schreiben die korrigierte Funktion G(x):
G(x) = -2(x + 1)^2 + 4
Für die folgenden Aufgaben schreibe ich jetzt nicht mehr das gesamte Schema wie bei 6a) auf, also mit Überprüfung von a, m und n. Das kannst du dann selber machen. Für die folgenden Aufgeben gebe ich nur noch die Fehler und die korrigierte Funktion an.
6b)
Tmax...also muss a negativ sein, ist es aber nicht.
G(x) = -2(x - 1)^2 + 4
6c)
Tmin...also muss a positiv sein, ist es aber nicht.
G(x) = (x + 1)^2 + 3
6d)
Tmax = 7, also ist n = 7. Ist es aber nicht. Hier ist n = -7
G(x) = (x - 1)^2 + 7
e) ersuche mal selber.
6f)
Hier ist die Normalform gegeben:
T(x) = -2x^2 + 4
Die Scheitelpunktform würde mit a = -2, m = 2 und n = 4 lauten:
T(x) = -2(x - 2)^2 + 4
das mulziplizieren wir aus:
T(x) = -2(x^2 -4x + 4) + 4 = -2x^2 + 8x -8 + 4 = -2x^2 + 8x -4
also
G(x) = -2x^2 + 8x -4
7a)
Aus T(x) folgt:
a = -3: es handelt sich bei dem Scheitel um ein Maximum
m = 7: das Maximum liegt bei x = 7
n = 3: T(4) = 3
also Tmax = 3 für x = 7
8a)
Tmax: a muss negativ sein. Wie groß a genau ist, ist nicht berechenbar, also nehmen wir den einfachsten Fall mit a = -1
m = 15: (x - 15)^2
n = 12
also: T(x) = -(x - 15)^2 + 12
9a)
T(x) = -(x^2 - 12x + 36) + 2 = -(x - 6)^2 + 2
also:
a < 0: Tmax
m = 6: x = 6
n = 2
also:
Tmax = 2 für x = 6
Möchte nicht wissen wie lange du dafür gebraucht hast haha, danke nochmal