Mathe Eigenwerte und Eigenvektoren?
bei a) habe als Eigenwerte -1+i und -1-i bekommen, wie mache ich weiter?
2 Antworten
b)
Du kannst die Eigenvektoren bestimmen, indem du wie beim bestimmen des charakteristischen Polynoms vorgehst, nur statt der Determinante den Kern bestimmt.
Denn Eigenvekoten der Matrix A zum Eigenwert λ sollen ja gerade die Eigenschaft
A v = λ v <=> (A – λ E) v = 0 = Ker(A – λ E)
mit der Einheitsmatrix E. Damit sollte das Vorgehen klar sein - Stichwort: Gaußalgorithmus.
c)
Ich habe mich noch nicht mit DGL's im Mehrdimensionalen auseinandergesetzt, aber hier ist die Lösung einfach anzugegeben. Erinnerst du dich daran, dass k e^(c t) nach x abgeleitet c k e^(c t) ergibt, dann liegt es schon auf der Hand.
Setzen wir nämlich c = –1–i bzw. c = –1+i, dann brauchen wir den Vektor (ĉ e^(c t), č e^(c t)) nur in Richtung des jeweiligen Basisvektors der Eigenräume bewegen.
Ich zeige es einmal für c = –1–i. Ein Basisvektor des Eigenraumes von –1–i ist (i, 1). Setzen wir also c = –1–i in (ĉ e^(c t), č e^(c t)) ein, dann erhalten wir
(ĉ e^((–1–i) t), č e^((–1–i) t))
und das soll gleich (i, 1) sein. Mit diesem Gleichungssystem erhalten wir dann als Lösung ĉ = i e^(1+i) und č = e^(1+i). Damit ist
y(t) = (i e^((1+i)(1–t)), e^((1+i)(1–t)).
Für c = –1+i kannst du es ja selbst probieren.
d)
Hier kann ich dir nicht helfen, da ich nicht weiß, wo man sowas zeichnen lassen kann.
nice ok, habs noch nicht ganz verstanden aber auf jeden fall hilft es mir weiter
Du berechnest jetzt die Eigenvektoren zu den Eigenwerten, wie du das in der linearen Algebra gelernt hast. Also auf der Diagonalen Eigenwert subtrahieren
ok, ich habs gemacht und bekomme dann für -1+i dass iVx=Vy und Vx=iVy und für -1-i dass iVx=-Vy und iVy=Vx
was bedeutet das?