Matheaufgabe, Erklärung?
Es gibt ja die bekannte Frage:
3 Mitarbeiter bräuchten für die Erledigung einer Aufgabe 60, 180, 360 Minuten.
Wielange bräuchten sie wenn sie zusammen arbeiten.
Ich weiß dass die Lösung 40 min ist. Aber ich verstehe nicht warum meine erste Idee nicht funktioniert.
Ich dachte der 2. Mitarbeiter nimmt dem ersten die Hälfte der Arbeit ab, weil er halb so schnell ist und der dritte eben 1/6. Also 60-10-20=30.
Was stimmt daran nicht?
6 Antworten
machen wir mal was Allgemeineres:
6 Menschen brauchen für die Herstellung von 12 kisten 8 Stunden.
Wie viele kisten produzieren 13 Menschen in 3 Stunden?
Wie gehst du nun vor:
- du guckst: gegeben ist die anzahl an menschen und stunden.
Gesucht ist die Anzahl an Kisten
und du überlegst dir wie was wovon abhängt, immer shcön paarweise:
wenn du di menshcenanzahl erhöhst, wie wirkst sich das auf die kistenanzahl aus?
wenn die stundenanzahl steigt, wie verändert sich dann die kistenanzahl?
jede dieser überlegungen legt zugrunde dass alle anderen größen gleich sind währenddessen.
darum kannst du hingehen wie folgt:
du betrachtest das Bündel (Menschen, Stunden, kisten), das zu beginn
die werte
(6,8,12) hat
und formst es, dur entsprechende Umformungen um bis du am schluss das bündel (13,3,x) hast. (wobei x die gesiuchte ksitenanzahl ist.
du fänbst also an:
(6,8,12)
bringen wir erst die menschenanzahl auf 13. dazu rechnen wir die menschen *13/6 (weil 6*13/6=13 ist) und müssen, weil mit steigender menschenanzahl auch die kistenanzahl steigt, auch die kistenanzahl *13/6 nehmen.
die stundenanzahl bleibt heirbei unverändert:
(13,8,12*13/6)
=(13,8, 26)
die anzahl an mesnchen passt nun shcon zum zielbündel.
nun müssen wir noch die stundenzahl von 8 auf 3 bringen.
hierzu multiplizieren wir die stundenanzahl mit 3/8 (weil 8 * 3/8=3 ist).
haben wir mehr stunden zur verfügung (bei gleich vielen Arbeitern) dann produzieren wir auch mehr kisten. darum auch die ksitenanzahl *3/8!
ergibt:
(13,3,26*3/8)=(13,3,9.75)
soweit so gut aber noch sind wir nicht ganz fertig.
schließlcih steht bei den kisten keine ganze zahl.
man kann schließlich nur ganze kisten haben.
was heißt diese 9.75 nun?
dass bereits 9 ganze ksiten produziert wurden und eine kiste zu 3/4 fertig ist.
->Also von 13 Menschen werden in 3 Stunden 9 ganze Ksiten produziert!
(meistens wird bei so Aufgaben eh eine ganze Zahl rauskommen, aber falls mal was krummes wie hier rauskommt, sollt ihr mitdenken und überlegen dass es keine 9,75 kisten gibt und es eben nur 9 ganze Kisten sind!)
Zu einer Aufgabe, die deiner ähnlich ist und wo man leider nciht so das Schema von oben nutzen kann:
Die 3 Mitarbeiter sollen A,B,C heißen.
A erledigt 1 Aufgabe in 60 Minuten. (hier meinen wir mit 1 Aufgabe wirklich 1 Aufgabe, also im Sinne einer ANzahl.)
B erledigt 1 Aufgabe in 120 Minuten,
also erledigt B 0.5 Aufgaben in 60 Minuten.
(halbe Zeit, auch nur die hälfte an aufgaben geschafft. Logo?)
C erledigt 1 Aufgabe in 180 Minuten.
daher erldigt C 1/3 Aufgabe in 60 Minuten.
wir wissen also wie viel jeder der 3 mitarbeiter in de gleichen zeit erledigt.
Arbeiten sie zusammen (aber nicht irgendwie gleichzeitig an der selben Sache, sondern jeder macht sein eigenes Ding in der Zeit)
so schaffen A,B und C in 60 Minuten 1+0.5+1/3 Aufgaben.
der term ist hässlich, also formen wir ihn in 1 bruch um:
1+1/2+1/3=6/6+3/6+2/6=11/6
Also schaffen A,B,C zusammen in 60 Minuten 11/6 Aufgaben.
Uns interessiert nun aber nicht wie viel sie in 60 Minuten schaffen, sondern wie lange sie für eine Aufgabe brauchen (Sprich: vorgegeben 1 aufgabe, was ist die zeit dazu?)
darum müssen wir von 11/6 auf 1 aufgabe runtergehen:
dazu *6/11 rechnen.
wir vervielfachen also die aufgabenanzahl mit 6/11.
mit steigender aufgabenanzahl brauchen sie aber auch umso länger.
darum muss die stundenanzahl auch *6/11 gerechnet werden.
Von
A,B,C zusammen in 60 Minuten 11/6 Aufgaben.
kommen wir also zu
A,B,C zusammen schaffen in 1 Aufgabe in 60*6/11 Minuten.
noch vereinfachen bzw. verschönern:
A,B,C zusammen schaffen in 1 Aufgabe in 360/11 Minuten.
360/11 minuten sind 32+8/11 minuten, also 32 ganze Minuten und 8/11 einer Minute.
den bruch kann man noch umrechnen in sekunden:
8/11 minuten=60*8/11=43,63 Sekunden.
Insgesamt brauchen die 3 zusammen also 32 Minuten und 43 Sekunden für die eine Aufgabe.
bei deiner Aufgabe musst du nur statt mit 60,120,180 eben mit den Wert 60,180,360 für die zeit rechnen; das vorgehen ist das selbe wie oben.
Hallo,
der erste schafft in einer Stunde die ganze Arbeit, der zweite schafft 1/3 pro Stunde, der dritte schafft 1/6.
Du rechnest also 1/(1+1/3+1/6)=1/(9/6)=2/3.
Zusammen eine 2/3 Stunde oder 40 Minuten.
Google mal das Stichwort harmonisches Mittel.
Herzliche Grüße,
Willy
Wenn der zweite halb so schnell ist, kann er dem ersten nicht die Hälfte der Arbeit abnehmen. Das ginge nur, wenn er genauso schnell wäre.
Entsprechend funktioniert das auch mit dem dritten nicht.
Horchemaaa, die zwei schicken den dritten erstmal los, Leberkäsweggla zu holen. Weil ohne Mampf kein Kampf. Dann kommt noch die Sekretärin vorbei, man ratscht aweng und dann kommt der erste Kollege mit den Weggla wieder. Kein Wunder dass man länger braucht.
Den Aufwand der Arbeit können wir als 1 bezeichnen (Einheit, auch Fantasieeinheit frei wählbar). Er entspricht einer Strecke s.
Der erste hat die Geschwindigkeit v = 1/60, der zweite 1/180, der dritte 1/360 . (Jeweils nach der Formel v = s/t, mit s = 1). Zusammen die vges =1/60 + 1/180 + 1/360.
Die Formel v = s/t nach t auflösen: t = s/v mit s = 1 und v = vges. Also t = 1/(1/60 +1/180 + 1/360). Also der Reziprokwert der Summe der Reziprokwerte der Zeiten.
ich würde gucken wie viele "Aufgaben" jeder der 3 in einer gleichen zeiteinheit (hier sinnvol 60 minuten) schafft, die 3 werte addieren und dann wieder auf 1 aufgabe hochrechnen-
Die Methode von tunik123 ist schneller als meine. Aber auch nur in diesem Fall, da alle Zeiten einen größten gemeinsamen Teiler haben.
der erste macht x/60
der zweite x/180
der dritte x/360 in der gesuchten Zeit;
also
x/60 + x/180 + x/360 = 1
Gleichung mal Hauptnenner
6x+2x+x=360
9x=360
x = 40
Danke, das weiß ich aber, aber wo ist der Denkfehler in meinem Ansatz, wo 30 raus kommt?