Mathe analytische Geometrie?
Hallo, komme bei der Aufgabe d) nicht weiter. Mir wurde gesagt ich solle Punkte spiegeln, weiß aber nicht welche..? :)
Hier ist noch Kontext dazu :)
3 Antworten
Wie stellst du eine Parabelkurve auf, die den Scheitel (0, 5, 3) hat und entlang der Geraden g = (–10, –5, –20) + (2 s, 2 s, 5 s) geht?
Wir wissen, entlang welcher Richtung in der x1x2-Ebene die Parabel geht. Diesen Richtungsvektor (2, 2, 0) müssen wir noch normieren: (1/√2, 1/√2, 0). So stellen wir sicher, dass auch immer nur x Meter gegangen werden, wenn man zu einem Punkt den Vektor (x/√2, x/√2, 0) addiert.
Der Scheitelpunkt soll hier der höchste Punkt sein. Wenn wir also x Meter entlang der Richtung (2, 2, 0) gehen, wollen wir in der z-Komponente dann die Höhe 3 – x² erhalten.
Die Parabel wird daher beschrieben durch.
p: x = (0, 5, 3) – (t/√2, t/√2, a t²).
Die Steigung a ist noch nicht bekannt. Sie sollte so gewählt sein, dass der Übergang zur Geraden g glatt ist, also die selbe Steigung am Berührpunkt besitzt.
Das geht tatsächlich so einfach, wie es sich annhört. Man bildet die Ableitung von p und schaut, wann er parallel zum Richtungsvektor von g ist.
k (–1/√2, –1/√2, –2 a t) = (2, 2, 5),
also k = –2 √2 und a = 5 √2 / (8 t).
Da g und p sich berühren müssen, gilt zudem
(0, 5, 3) – (t/√2, t/√2, 5 √2 t / 8) = (–10, –5, –20) + (2 s, 2 s, 5 s),
was zu t = 8 √2 / 5, s = 21/5 und damit a = 5 √2 / (8 • 8 √2 / 5) = 25 / 64 führt.
Die Parabel ist also gegeben durch
p = (–t / √2, 5 – t / √2, 3 – (5 t / 8)²).
Da bei s = 21/5 die z-Komponente von g schon übern Wasser ist, müssen wir den Schnittpunkt (Wasseraustritt) mit der x1x2-Ebene (Wasseroberfläche) bei g suchen. Den zweiten dann mit p (Wassereintritt).
–20 + 5 s = 0 <=> s = 4 => S_aus = (–2, 3, 0).
3 – (5 t /8)² = 0 <=> t = ±8 √3 / 5.
Da der Berührpunkt von p und g entlang der in die x1x2-Eben projizierten Geraden
g* = (–10, –5, 0) + (2 s, 2 s, 0)
auf dem Lotfußpunkt B(–5/8, 14/5, 0) in der x1x2-Ebene liegt, kommt nur die negative Lösung von t infrage. Denn dann sind die x-y-Komponenten entlang g* von B in positiv orientierter Richtung entfernt. Damit also
S_ein = (4 √6 / 5, (25 + 4 √6) / 5, 0).
Der Delphin verlässt das Wasser, falls z=0, d.h. g(s) = (x,y,0). Das gilt für s = +4.
Der Austrittspunkt lautet deshalb P1 = g(4) = (-2,3,0).
Der Lotpunkt des Parabelscheitels auf der xy-Ebene lautet L=(0,5,0).
Gerade h durch P1 und L:
h(r) = P1 + r*(L-P1) = (0,5,0) + r*(-2,-2,0)
Das es sich um eine perfekte Parabel handelt, gilt
h(1) = P1
h(0) = L
h(-1) = P2 = (2,7,0) (Eintrittspunkt, das ist der Spiegelpunkt von P1 auf der Geraden h, bezogen auf den Lotpunkt L)
Test: Abstand P1-L = P2-L = 2.83
Aber hier ist nicht bedacht worden, dass die Parabel sich anschmiegt an die Gerade g. So macht es zumindest am meisten Sinn.
den Austrittspunkt aus dem Wasser kannst du bestimmen, indem du x3 = 0 setzt und dafür das s bestimmst
der Scheitelpunkt auf die Wasseroberfläche projiziert hat die Koordinaten (0|5|0), es werden nur die x1 und x2 Koordinaten beachtet und x3=0 gesetzt
nun kannst du die Strecke vom Austrittspunkt zum Scheitelpunkt verdoppeln (wegen der Symmetrie der Parabel) und so den Eintrittspunkt ins Wasser ermitteln
Aber hier ist nicht bedacht worden, dass die Parabel sich anschmiegt an die Gerade g. So macht es zumindest am meisten Sinn.