Mathe?

Question

Hallo, ich brauche Hilfe bei der c). Ich habe jetzt umgeformt und so und hab -2/3, aber was mache ich jetzt? Bitte Hilfe

gauss58 · Accepted Answer

sin((π/6) * (t - 4)) = -2/3 ist ja erst der Anfang.

Jetzt den Arcussinus bestimmen und Periodizität, Symmetrie und Definitionsbereich beachten.

(π / 6) * (t - 4) = arcsin(-2 / 3) + 2 * π * n ∨ π - (π / 6) * (t - 4) = arcsin(-2 / 3) + 2 * π * n ; n ϵ Z ; 0 <= t <= 12

(π / 6) * (t - 4) = -arcsin(2 / 3) + 2 * π * n ∨ π - (π / 6) * (t - 4) = -arcsin(2 / 3) + 2 * π * n ; n ϵ Z ; 0 <= t <= 12

...

t = 2 * (5 * π + 3 * arcsin(2 / 3) + 6 * n * π) / π ∨

t = 2 * (2 * π - 3 * arcsin(2 / 3) + 6 * n * π) / π

Jetzt Werte für t im Intervall berechnen, Abstände bestimmen für f(t) < 300, diese addieren und in Tage umrechnen.

ReimundAcker · Answer

Zur Lösung der Aufgabe 6 c) kannst du in folgenden Schritten vorgehen:

Den Graphen der Funktion f zeichnen.
Eine Lösung der Gleichung f(t) = 300 finden.
Die Minima und Maxima von f finden.
Weitere Lösungen der Gleichung f(t) = 300 finden.
Die Anzahl der Tage mit f(t) < 300 bestimmen.

Schritt 1:

Bild zum Beitrag

Schritt 2:

  f(t) = 300
⇔ 150·sin( π·(t–4)/6 ) + 400 =  300
⇔ 150·sin( π·(t–4)/6 )       = –100
⇔     sin( π·(t–4)/6 )       = –100/150
⇔     sin( π·(t–4)/6 )       = –2/3
⇔          π·(t–4)/6         = arcsin(–2/3)
⇔          π·(t–4)/6         = –arcsin(2/3)
⇔          (t–4)/6           = –arcsin(2/3)/π
⇔           t–4              = –6·arcsin(2/3)/π
⇔           t                = –6·arcsin(2/3)/π + 4
mit –6·arcsin(2/3)/π + 4 ≈ 2,60

Daher ist t₁ = 2,60 unser erster t-Wert mit f(t) = 300 und genau genug.

Schritt 3:

Minima und Maxima von f(t) sind dort wo f'(t) = 0 ist:

f'(t) =  150·cos(π·(t–4)/6)·π/6
      = 25·π·cos(π·(t–4)/6)

   f'(t) = 0 
⇔ 25·π·cos(π·(t–4)/6) = 0
⇔          π·(t–4)/6  =   π/2 + k·π     mit k∈ℤ
⇔          π·(t–4)/6  = (2·k + 1)·π/2   mit k∈ℤ
⇔            (t–4)/6  = (2·k + 1)/2     mit k∈ℤ
⇔             t–4    = (2·k + 1)·3      mit k∈ℤ
⇔             t      = (2·k + 1)·3 + 4  mit k∈ℤ
⇔             t      =  6·k + 7         mit k∈ℤ
⇔             t      ∈ {..., –5, 1, 7, 13, ... }

In ihrem Definitionsbereich [0;12] hat f Minima/Maxima also nur bei t₁=1 und t=7.

Wegen

f(1) =  150·sin( π·(1–4)/6 ) + 400
     =  150·sin( –π/2 ) + 400
     = –150·sin(  π/2 ) + 400
     = –150·1           + 400
     =  250

und

f(7) = 150·sin( π·(7–4)/6 ) + 400
     = 150·sin( π/2 )       + 400
     = 150·1                + 400
     = 550

ist f(1) < f(7) und daher f(1) ein Minimum und f(7) ein Maximum von f.

Ferner ist f(1) < 300 und f(7) > 300. Oben sahen wir bereits, dass f(2,60) = 300 ist. Also ist f(t) < 300 für alle t < 2,60.

Schritt 4:

Es gibt aber noch einen weiteren Wert t₂ von t mit f(t) = 300. Er liegt wegen der Symmetrie von f auf der anderen Seite des Maximums (bei t = 7) und ist von 7 genauso weit entfernt wie t₁ = 2,60; also

7 – t₁ = t₂ – 7 bzw. t₂ = 14 – t₁ = 11,4

Da vom Maximum t = 7 kommend vor t = 12 noch kein weiteres Minimum erreicht wird, fällt die Kurve zwischen t₂ und t = 12. Also gilt f(t) < 300 auch für alle t > t₂ des Definitionsbereichs.

Schritt 5:

Es ist also f(t) < 300 an den Tage zwischen t = 0 und t = 2,6 sowie an den Tagen zwischen t = 11,4 und t = 12. Wie viele Tage sind das?

  2,6 Monate + (12 – 11,4) Monate
= 3,2 Monate
= 3,2 · 365,25 / 12 Tage
= 97,4 Tage, abgerundet 97 Tage.

Bitte nachrechnen!

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