Masseinheiten umrechnen mit Potenz?

Guten Abend

Ich möchte diese Brüche in SI-Einheiten umrechnen und mit der wissenschaftlichen Schreibweise vereinfachen.

Wie gehe ich am besten vor? Ich komme immer auf ein falsches Ergebnis und weiss nicht einmal, wo der Fehler liegt.

Danke für Deine Hilfe!

Answer 1

[mihisu]

Naja, du schaust einerseits ob es Einheitenvorsätze, wie beispielsweise „c“ für „Zenti-“ bei „cm“ („Zentimeter“) gibt, und ersetzt diese durch die entsprechende Zehnerpotenz. Also beispielsweise 10⁻² bei „Zenti-“...

$x\,\,\text{cm}=x\cdot \,10^{-2}\,\text{m}$

$x\,\,\text{cm}^3=x\cdot \left(10^{-2}\,\text{m}\right)^{3}=x\cdot \left(10^{-2}\right)^{3}\,\text{m}^3=x\cdot 10^{-2\cdot 3}\,\text{m}^3=x\cdot {10}^{-6}\,\text{m}^3$

Bei Einheiten, die nicht SI-Einheiten sind, wie beispielsweise bei „l“ („Liter“), solltest du dir Erinnerung rufen (oder recherchieren, wenn du es nicht weißt), wie diese definiert sind bzw. mit entsprechenden SI-Einheiten in Verbindung stehen, so ist beispielsweise ein „Liter“ als gleich einem „Kubikdezimeter“ (dm³) definiert...

$x\,\ell=x\,\text{dm}^{3}=x\cdot\left({10}^{-1}\,\text{m}\right)^{3}=x\cdot {10}^{-3}\,\text{m}^3$

====== Lösungsvorschlag zu deinen Beispielen... ======

------ Erstes Beispiel ------

$\frac{14\text{,}80\,\ell}{7\text{,}40\,\text{m}^2\cdot 420\,\text{μm}}$

$=\frac{14\text{,}80\,\text{dm}^3}{7\text{,}40\,\text{m}^2\cdot 420\,\text{μm}}$

$=\frac{14\text{,}80\cdot\left({10}^{-1}\,\text{m}\right)^3}{7\text{,}40\,\text{m}^2\cdot 420\cdot {10}^{-6}\,\text{m}}$

$=\frac{14\text{,}80\cdot {10}^{-3}\,\text{m}^3}{7\text{,}40\,\text{m}^2\cdot 420\cdot {10}^{-6}\,\text{m}}$

$=\frac{14\text{,}80\cdot {10}^{-3}}{7\text{,}40\cdot 420\cdot {10}^{-6}}\,\frac{\text{m}^3}{\text{m}^2\cdot \text{m}}$

Bei den Einheiten kürzt sich das m³ im Zähler mit dem m² ⋅ m = m³ im Nenner gegenseitig komplett weg, so dass man dann 1 als dimensionslose Einheit hat. Den vorderen Teil mit den Zahlen kann man von einem Taschenrechner auswerten lassen.

Da kommt man dann auf etwa 4761904,762. Da kann man dann das Komma um 6 Stellen verschieben, um die entsprechende wissenschaftliche Notation (Exponentialdarstellung mit Hilfe von Zehnerpotenzen) zu erhalten. Beziehungsweise können die meisten wissenschaftlichen Taschenrechner auch direkt das Ergebnis in wissenschaftlicher Notation ausgeben. Also...

$\approx 4\text{,}761904762\cdot {10}^{6}$

Bzw. ist es in den Naturwissenschaften in der Regel sinnvoll auf gültige Ziffern (signifikante Stellen) zu achten und beim Ergebnis keine Genauigkeit vorzutäuschen, die man aufgrund der Genauigkeit der Angaben bzw. gemessenen Größen nicht tatsächlich erreicht. Im konkreten Fall hat man bei den Angaben 4 signifikante Stellen bei „14,80“ und 3 signifikante Stellen bei „7,40“ und bei „420“. Entsprechend der ungenaueren Angaben sollte man hier dann auch das Ergebnis auf 3 signifikante Stellen runden, also...

$\approx 4\text{,}76$

------ Zweites Beispiel ------

$1\,\text{h}=60\,\text{min}=60\cdot 60\,\text{s}=3600\,\text{s}$

Beachte außerdem, dass im SI-System bei der Masseneinheit ausnahmsweise „kg“ (nicht „g“) die kohärente Einheit ist. Dementsprechend ist es hier in der Regel sinnvoll auch in „kg“ zu rechnen. [Theoretisch könnte man aber auch mit Gramm rechnen. Dann muss man aber evtl. stärker aufpassen, welche Einheit man am Ende erhält.]

$1\,\text{kg}=10^{3}\,\text{g}\quad \rightarrow\quad 1\,\text{g}={10}^{-3}\,\text{kg}$

Damit erhält man hier dann...

$\frac{14\text{,}8\,\text{kg}\cdot 29\,\text{ms}}{3\text{,}2\,\text{h}\cdot 2\text{,}4\,\text{g}}$

$=\frac{14\text{,}8\,\text{kg}\cdot 29\cdot {10}^{-3}\,\text{s}}{3\text{,}2\cdot 3600\,\text{s}\cdot 2\text{,}4\cdot {10}^{-3}\,\text{kg}}$

$=\frac{14\text{,}8\cdot 29\cdot {10}^{-3}}{3\text{,}2\cdot 3600\cdot 2\text{,}4\cdot {10}^{-3}}\,\frac{\text{kg}\cdot \text{s}}{\text{s}\cdot \text{kg}}$

Hier kürzt sich wieder das kg ⋅ s im Zähler mit dem s ⋅ kg = kg ⋅ s im Nenner komplett gegenseitig zur dimensionslosen Einheit 1 weg. Die Zahlen kann man wieder vom Taschenrechner auswerten lassen.

$\approx 1\text{,}6\cdot 10^{-2}$

------ Drittes Beispiel ------

$\frac{132\,\text{cm}^3\cdot 31\,\text{h}}{17\,\text{mm}\cdot 17\,\text{s}}$

$=\frac{132\cdot \left({10}^{-2}\,\text{m}\right)^3\cdot 31\cdot 3600\,\text{s}}{17\cdot {10}^{-3}\,\text{m}\cdot 17\,\text{s}}$

$=\frac{132\cdot \left({10}^{-2}\right)^3\cdot 31\cdot 3600}{17\cdot {10}^{-3}\cdot 17}\,\frac{\text{m}^3\cdot \text{s}}{\text{m}\cdot \text{s}}$

Bei den Einheiten kann man dann (m³ ⋅ s)/(m ⋅ s) mit m und mit s kürzen, sodass noch m² übrig bleibt.

$\approx 5\text{,}1\cdot {10}^{1}\,\text{m}^2$

------ Viertes Beispiel ------

$\frac{31\,\text{ps}\cdot 90\,\text{ml}}{0\text{,}422\,\text{m}^3}$

$=\frac{31\cdot {10}^{-12}\,\text{s}\cdot 90\cdot {10}^{-3}\,\ell}{0\text{,}422\,\text{m}^3}$

$=\frac{31\cdot {10}^{-12}\,\text{s}\cdot 90\cdot {10}^{-3}\,\text{dm}^3}{0\text{,}422\,\text{m}^3}$

$=\frac{31\cdot {10}^{-12}\,\text{s}\cdot 90\cdot {10}^{-3}\cdot\left({10}^{-1}\,\text{m}\right)^3}{0\text{,}422\,\text{m}^3}$

$=\frac{31\cdot {10}^{-12}\cdot 90\cdot {10}^{-3}\cdot\left({10}^{-1}\right)^3}{0\text{,}422}\,\frac{\text{s}\cdot \text{m}^3}{\text{m}^3}$

$\approx 6\text{,}6\cdot {10}^{-15}\,\text{s}$

Comments

[heisenbergerin]

Danke, Du hast es perfekt erklärt!

Answer 2

[TheBoxer298]

Nun ja, zuerst einmal würde ich im Tafelwerk/Internet/Formelsammlung nachschauen, was die Umrechnungszahl der im jeweiligen Bruch stehenden Einheiten in SI-Einheiten ist. Nehmen wir den ersten Bruch als Beispiel.

14,80l = 14,80 dm^3

14,80dm^3 ÷ 1000 = 1,48 × 10^-2 m^3

7,40 m^2 bleibt wie es ist

420 μm ÷ 1000000 = 4,2 × 10^-4 m

Unter dem Bruchstrich steht nun folgendes:

7,40 m^2 × 4,2 × 10^-4 m

= 0.003024 m^3 = 3,024 × 10^-3 m^3

Es ergibt sich nun daraus die Divisionsaufgabe:

(1,48 × 10^-2 m^3) ÷ (3,024 × 10^-3 m^3)

= 4,89417989

Die Einheiten haben sich weggekürzt (m^3 ÷ m^3).

Ich hoffe ich konnte irgendwie helfen. Bei Fragen einfach fragen.

MfG Stefan

Comments

[mihisu]

7,40 m^2 × 4,2 × 10^-4 m

= 0.003024 m^3 = 3,024 × 10^-3 m^3

Da hast du dich ein wenig verrechnet es müsste eher...

„ = 0,003108 m³ = 3,108 ⋅ 10⁻³ m³“

statt

„ = 0,003024 m³ = 3,024 ⋅ 10⁻³ m³“

... lauten. Vermutlich hast du versehentlich mit 7,20 statt mit 7,40 gerechnet. (Dementsprechend weicht auch das Endergebnis dann ein wenig vom eigentlich richtigen Ergebnis ab.)