Lösungsweg für eine rekursive Folge verstehen?
Das sind nicht meine Lösungen, aber ich würde sie gerne verstehen.
Spezifisch das, was ich rot umrandet habe. Warum kann man hier nun für a_n die Formel einsetzen, die in der Aufgabenstellung für a_n+1 galt? Und wie kommt man von da aus auf die darauf folgenden Zeilen?
2 Antworten
a_n kann nicht grundsätzlich durch a_n+1 eingesetzt werden, da diese zwar auch gleich, aber der andere auch größer sein kann als der eine. Hier muss eine Abschätzung vorgenommen werden.
(da mit etwas kleinerem subtrahiert wird als zuvor.)
Genau genommen steht hier:
Das beißt sich grundlegend mit dem gefordertem <=. Deutlich wird das auch wenn man sich ansieht was da eigentlich umgeformt wurde:
Das ist jetzt nicht falsch aber es beweist auch nichts.
Tipp: Man sollte sein (bereits bewiesenes) Folgenglied im Induktionsschrit vielleicht anders bezeichnen als das zu zeigende.
Probier mal dein a_n+1 im Induktionsschluss durch seine Definition als a_n zu ersetzen! ;) [1/2(a_n+(2/a_n))]
Also meinst du dann [1/2(a_n+(2/a_n))] - a_n <= 0 ?
Joa. Aber denk noch mal darüber nach was du eigentlich zeigen willst. Du weißt das a_n+<=a_n bereits für mindestens ein n (n=0) gilt. Du willst zeigen, dass wenn es für eines gilt, dass es dann auch für das nächste n+1 gilt. Welche Ungleichung musst du dann zeigen? a_{(n+1)+1}<=a_{n+1}.
Müsste man dann bei a_{(n+1)+1} für jedes a_n die Formel für a_n+1 einsätzen, so dass es a_{(n+1)+1} = 1/2((1/2(a_n+2/a_n))+2/(1/2(a_n+2/a_n)) wäre?
Nein nur a_n+1, denn es wird in der rekursiven Schreibweise ja ein weniger.
1/2(a_{n+1}+2/a_{n+1})
Also dann:
1/2(a_n+1 + 2/a_n+1) <= a_n+1
1/2(a_n+1 + 2/a_n+1) - a_n+1 <= 0
-(a_n+1)/2 + 1/a_n+1 <= 0
1/a_n+1 <= (a_n+1)/2
2/a_n+1 <= a_n+1
2 <= (a_n+1)^2
?
Bei der vollständigen Induktion kannst du das eigentliche n+1<=n (für genau dieses n) voraussetzen, du versuchst also immer das zu dieser Aussage zurückzufriemeln. Lass den letzten Schritt mit dem Multiplizieren von a_n+1 erstmal noch weg, und versuche am Ende ein echtes a_n+1<=a_n stehen zu haben (oder ähnliches). Dafür kannst du ein (oder einige, bitte nicht alle) a_n+1 wieder mit seine Definition beziehen, und gewinnst damit ein/einige a_n.
Obwohl du könntest auch auf beiden Seiten die Wurzel ziehen und den anderen Satz anwenden...
Japp, damit müsstest du auf die Lösung gekommen sein... Das hast du ja schon gezeigt. (oder zeigen lassen)
Diese Formel darf man eben nicht einsetzen. Deswegen ist der Beweis nicht richtig geführt.
Irgendwie komm ich nicht wirklich darauf, was die richtige Lösung hier wäre