Lösungen des reellen linearen Gleichungssystems?
Hallo zusammen,
weiß jemand wie diese Aufgabe zu lösen ist?
3 Antworten
Da b1 = b2 ist und die Differenz der Zeilen I und II = x2 + x4, kann x2 = -x4 gefolgert werden. x2 lässt sich durch x4 darstellen.
Ersetze in den vier Zeilen x4 durch -x2 und löse dann vier Gleichungen mit vier Unbekannten. Das denke ich, muss ich nicht aufschreiben.
Andernfalls melde dich noch mal.
Bei 4x4 Matrix geht das auch mit der Stufenform.
Wo sind x2 und/oder x4 geblieben? Eine von beiden Variablen muss bleiben, die andere ersetzt werden.
Also wenn man in der ersten Zeile für x4 = -x2 einsetzt dann kürzen sich die x2 weg... oder?
also ich schaffe es irgendwie immer noch nicht die Aufgabe zu lösen :/
So, habe mir das mal genauer angesehen. Es ist ein unterbestimmtes Gleichungssystem. Das bedeutet, aus 4 Gleichungen mit 5 Unbekannten wird schnell 3 Gleichungen mit 4 Unbekannten.
Solche unterbestimmten Gleichungssysteme haben oft unendlich viele Lösungen. Das ist immer dann, wenn sich die Gleichungen nicht widersprechen.
Habe für b1 = b2 = b3 = b4 = 0 genommen, weil das einfacher ist.
Die erste Zeile fliegt ja weg, weil sie identisch der zweiten ist.
Wenn man weiter rechnet, bekomme ich sogar nur 2 Gleichungen mit 4 Unbekannten. I, II und III markieren die Zeilen, gleiche Werte wie deine Angabe:
x1 + x3 + x5 = 0 I
2x1 - 2x2 + 4x3 + 6x5 = 0 II
- 2x2 + 2x3 + 4x5 = 0 III
Umformung:
x1 + x3 + x5 = 0 I
- 2x2 + 2x3 + 4x5 = 0 II - 2I
- 2x2 + 2x3 + 4x5 = 0 III
II -2I = III
Es gibt keine eindeutige Lösung.
Einfach eine Gauß-Matrix mit erweiterter Matrix ( A | ba, bb, bc )
1111 | 011
1010 | 011
2345 | 011
0224 | 01-1
Und dann die linke Seite in Treppennormalform und Du hast alle Lösungen auf einmal.
So wie @gogogo schreibt. Zusätzlich sollst du aber das Gleichungssystem in die Form (A|b) bringen, wobei A die 4x4 Matrix der Koeffizenten ist und b die rechte Seite laut a), b), c).
Also wenn ich das LGS aufstelle sieht es so aus:
x1 + x3 +x5 = b1
x1+ x3 + x5 = b2
2x1 - 2x2 + 4x3 + 6x5 = b3
-2x2 + 2x3 + 4x5 = b4
Ist das so richtig? Und wenn ja, wie löst man das (ohne Taschenrechner)?
Ich weiß dass bei einer 3x3 Matrix diese zuerst in die Stufenform gebracht werden muss, aber was mache ich bei einer 4x4?