Lösung der Aufgabe?Vektoren?
Guten Tag,
es haben sich mir zwei Aufgaben im Weg gestellt, die ich noch nie zuvor hatte. Wie sollte ich vorgehen? A(5/0/0) B(5/10/0) D(0/0/0)
bei 12 muss mich nur das Prinzip verstehen, ein Beispiel wäre gut, c habe ich selbst ausgerechnet 0/10/0 was ist jedoch mit den höheren Punkten, um Vektorrn ausrechnen zu können?
Allerdings verstehe ich 13 überhaupt nicht.
es wäre gut, wenn mir mal jemand das zeigen könnte
3 Antworten
Das ist ganz einfach.
Eine Linearkombination von Vektoren ist das Hintereinanderhängen (Addition und Subtraktion) und möglicherweise auch ein Skalarprodukt bilden (Zahl mal Vektor)
Hier brauchst du nur Addition.
Wie kommst du von A nach G ??? Das wäre dann der Vektor AG.
Da gehst du von A nach B und dann von B nach C und dan von C nach G. Als hast du a+b+c.
Du kannst auch andere wege nehmen und mußt dabei beachten, dass alle anderen vektore von Ecke zu Ecke identisch mit a, b und c sind.
So ist z.B. AE nix anderes als c. usw.
Wenn du andere wege nimmst wirst du aber immer wieder auf a+b+c kommen.
Also, ich habe mir die Aufgabe 12 nochmal angeguckt. Offensichtlich habe ich die Aufgabe falsch interpretiert, kein Wunder dass ich es nicht verstanden habe. Im Grunde genommen ist es ziemlich einfach. Einfach nur
a +b +c
c - a + b
a + b - c etc.
fertig.
JaJaJa !!! Wie dumm von mir!!!! natürlich skalare Multiplikation
Hab das auch haupsächlich für den Fragesteller genann, damit der nich auf Abwege gerät.
Natürlich weiß ich, wie man AG berechnet. Jedoch sollten doch Koordinaten von G bestehen oder habe ich es falsch verstanden?
Ich dachte das sei klar....
Der Vektor a (von A nach B) ist natürlich B-A also (5/10/0) - (5/0/0) = (0/10/0)
Zum Verständnis: Wenn man den Körper in ein 3-dim. Koordinatensystem setzen würde, geht der Vektor a nur in die Richtung der y-Achse , nicht in Richtung der x- oder z-Achse. Für dieses Bild muss man dann auch noch kapieren, dass er nicht so im Koordinatensytem liegen würde wie er hier im Buch hingemalt ist, sondern an den Koordinaten sieht man, dass er auf der Fläche AEDF steht und D der Ursprung ist. Er ist also gekippt und gedreht.
Zur weitern Erläuterung: Du bisldst so wie ich es bei a gemacht habe b und c und machst dann immer die richtigen Additionen (bzw. Subtraktionen) und bei e) mußt du noch einen Faktor 1/2 vor eine Addition von zwei Vektoren multiplizieren.
Wenn du das alles schaffst geht die 13 im Prinzip ebenso. Nur mußt du erst mal die Seiten des Dreiecks als Vektoren hinschreiben und dann daraus die Seitenhalbierenden. Bei a) und b) ist es mit Zahlen, so wie in der 12. Bei c) dann mit allgemeinen Werten, also ohne es konkret zu rechnen sondern es geht hier darum dir das Prinzip deutlich zu machen.
Achtung: bei den anderen Aufgabenteilen brauchst du auch die Subtraktion, also das Anhängen eines Vektors in umgekehrter Richtung
und bei Aufgabe e) brauchst du doch das Sklarprodukt; hatte ich mir nicht angesehen.
Zu 12.: Der Vektor, der von Punkt P zu Punkt Q führt (Verschiebungsvektor oder Translationsvektor), ist die Differenz der Ortsvektoren von Q und P
translation(P, Q) = Ort(Q) - Ort(P)
Umgekehrt kann man aus dem Ortsvektor von P und dem Verschiebungsvektor translation(P, Q) den Ortsvektor von Q berechnen.
Ort(Q) = Ort(P) + translation(P, Q)
Du könntest damit anfangen, zu suchen, wo überall im Quader die Vektoren a, b und c auftreten und die zugehörigen Punktepaare aufschreiben. Z. B.
c = translation(A, E) = translation(D, H) = ...
Der Ortsvektor von M dürfte am schwierigsten zu ermitteln sein. Ist aber immer noch recht leicht:
translation(A, M) = translation(M, C)
und - weil Translationsvektoren addiert werden können -
translation(A, C) = translation(A, M) + translation(M, C)
also
translation(A, M) = 1/2 translation(A, C)
Die Zahlenwerte der Koordinaten der Ortsvektoren, die du am Anfang aufschreibst, sind m. E. in diesem Fall mehr verwirrend als hilfreich. Linearkombinationen aus Vektoren in Koordinatendarstellung zu ermitteln würde ich an anderen Beispielen üben.
Zu 13.: Der erste Satz hier ist der "Seitenhalbierendensatz" aus der Geometrie.
Dass das Verhältnis der Abschnitte angegeben ist, spart Rechenarbeit und Nachdenkarbeit. Hier braucht man sich "nur" zu überlegen, wie man es nutzt.
Zunächst sollte man zusehen, dass alle Punkte, die eine Rolle spielen können, auch einen Namen haben. Wir nennen den Seitenmittelpunt der Seite c (= Strecke(A, B)) M_c, den der Seite a M_a, den der Seite b M_b.
Dann ist Ort(M_c) = Ort(A) + 1/2 Translation(A, B) = 1/2 Ort(A) + 1/2 Ort(B)
S liegt auf der Strecke Strecke(M_c, C)
Außerdem gilt
Länge(Strecke(M_c, S)) : Länge(Strecke(S, C)) = 1 : 2
Daraus lässt sich Ort(S) berechnen.
In Teil c) sind keine konkreten Zahlen, sondern Parameter gegeben. Wie man mit Symbolen rechnet, solltet ihr gelernt haben.
In der Frage sagtest du, du verstehest die Aufgabe nicht.
In diesem Zusammenhang hört sich dies so an, als wollest du allein die Lösung haben. (Oder die Ergebnisformel der Lösung - in den Übungen und Klausuren zu den Vorlesungen stand regelmäßig dabei "Der Lösungsweg ist Bestandteil der Lösung".)
so sollte es nicht rüberkommen. Womöglich habe ich es nicht so verständlich gemacht, allerdings reicht mir nur den Ansatz, den Rest erledige ich selbstständig. Lediglich dieser hat mir gefehlt. Ich gehe davon aus, dass es selbstverständlich sein sollte, was die Vekroren a b und c darstellen
Um die Länge von Vektoren nutzen zu können, brauchen wir entweder das Skalarprodukt (das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst ist das Quadrat seiner Länge) oder wir nehmen ein "gewichtetes Mittel".
Für das gewichtete Mittel benötigen wir so etwas wie das Hebelgesetz: das "Gewicht" eines Punktes ist umgekehrt proportional zu seinem Abstand vom betrachteten Punkt (der dem "Drehpunkt" entspricht)
Wenn wir den Ortsvektor von S benötigen und die Ortsvektoren von M_c und C haben:
Die Strecke von M_c zu S ist halb so groß wie die von S zu C. Also bekommt im "gewichteten MIttel" M_c das doppelte Gewicht wie C.
Die Summe aller Gewichte muss 1 sein. (Die Summe von Ortsvektoren ergibt dann und nur dann wieder einen Ortsvektor, wenn die Summe aller Vorfaktoren 1 ist.)
Also müssen die Gewichte 1/3 und 2/3 sein.
Also ist Ort(S) = 2/3 Ort(M_c) + 1/3 Ort(C)
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Wenn wir Ort(M_c) durch Ort(A) und Ort(B) ausdrücken, erhalten wir
Ort(S) = 1/3 Ort(A) + 1/3 Ort(B) + 1/3 Ort(C)
weshalb man S auch den "Schwerpunkt von A, B und C" nennt.
(Dass er auch der Schwerpunkt des gesamten Dreiecks ist, ist nicht so leicht nachzuweisen.)
Ich würde mich den Wegelagerern stellen. Zu 12:
Wie kommt man von A nach G?
AG = a+b+c
Kleine Korrektur: Du meinst glaube ich skalare Multiplikation. Skalarprodukt bei Vektoren ist was anderes.