Linksinvers?

was sind 2 linksinverse Abbildungen zu f(x) = x?

Answer 1

[mihisu]

f(x) = x ist nur eine Funktionsgleichung, keine Abbildung. Für eine Abbildung fehlt noch die Angabe von Definitions- und Zielmenge.

Beispielsweise ist

$f:\ \mathbb{N}\to\mathbb{N},\quad f(x)=x$

eine andere Abbildung als

$f:\ \mathbb{R}\to\mathbb{R},\quad f(x)=x\text{.}$

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Wenn man davon ausgeht, dass

$f:\ \mathbb{R}\to\mathbb{R},\quad f(x)=x$

gemeint ist. So besitzt diese Abbildung f keine zwei (verschiedene) linksinverse Abbildungen. Ist gibt da nur eine linksinverse Abbildung, die zugleich rechtsinvers ist. [Bedenke auch: Das Linksinverse einer bijektiven Abbildung ist eindeutig und gleich dem (eindeutigen) Rechtsinversen.]

Bei dem Inversen zu f handelt es sich im konkreten Fall um die Abbildung f selbst, da f die Identitätsabbildung auf ℝ ist. D.h. es ist im konkreten Fall f⁻¹ = f.

$f^{-1} :\ \mathbb{R}\to \mathbb{R},\quad f^{-1}(x)=x$

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Wenn man hingegen beispielsweise davon ausgeht, dass

$f :\ \mathbb{N}\to \mathbb{R},\quad f(x)=x$

gemeint ist, so könnte man beispielsweise

$g_1 :\ \mathbb{R}\to \mathbb{N},\quad g_1(x)=\begin{cases}x & \text{für }x\in\mathbb{N}\\ 1 & \text{für }x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{N}\end{cases}$

und

$g_2 :\ \mathbb{R}\to \mathbb{N},\quad g_2(x)=\begin{cases}x & \text{für }x\in\mathbb{N}\\ 2 & \text{für }x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{N}\end{cases}$

als zwei verschiedene linksinverse Abbildungen zu f angeben.