Limes gegen 0 für sin (1/x)?
hallo,
kann mir bitte jemand sagen ,wie man von dem ersten rot unterstrichenem auf das zweite, 0 kommt?
dankeschön(:
7 Antworten
Wie du vielleicht weißt, nimmt die Funktion sin() lediglich Werte im Intervall [-1,1] an. Geht x jetzt gegen 0, bleibt sin() immer noch im Intervall [-1,1], egal, wie man x wählt. Und 0 * eine reelle Zahl ist 0.
Gruß Kevidiffel
Deine Vermutung kommt dem Ganzen schon recht nahe. Weißt du, wie ln(x) aussieht? Wenn nicht, ist hier ein Link:
https://rechneronline.de/funktionsgraphen/
Einfach oben ln(x) eingeben und dann etwas weiter unten auf "Zeichnen" drücken.
ln(x) geht für x gegen 0 also gegen - unendlich. Das macht es schwierig damit zu arbeiten, selbst wenn x ja gegen 0 geht und als Faktor davor steht.
Aber ja, generell kann man sich bei beschränkten Funktionen sowas merken. Musterkandidaten dafür wären eben sin() und cos(), aber auch z.B. arctan().
kann man dann sagen bei beschränkten funktionen wird es zu 0
Ja klar.
und bei unbeschränkten nicht?
Nein, kann man nicht. Es ist in dem Falle unklar. Bsp.
x·(1/√x) = √x ⟶ 0 für x ⟶ 0+
x·(1/x) = 1 ⟶ 1 für x ⟶ 0+
x·(1/x²) = 1/x ⟶ +∞ für x ⟶ 0+
Für log(·) gilt:
x·log(x) = -log(1/x) / (1/x) = -y / exp(y), wobei y = -log(1/x). Beachte dass x⟶0+ ⟺ y⟶+∞. Nun ist es leicht zu beweisen, dass exp(y)/y ⟶ +∞ für y⟶+∞. Darum -y / exp(y) ⟶ 0- und somit gilt ebenfalls x·log(x) ⟶ 0- für x⟶0+.
Der Sinus ist auf den Wertebereich -1 bis 1 beschränkt, daher ist dieser Ausdruck sicher 0 egal was das Argument des Sinus ist. Selbiges gilt auch für den Cosinus und alle sonst beschränkten Funktionen. (auch wenn die Funktionen keinen Grenzwert hat, es reicht hier rein die Kenntnis der Beschränktheit)
Der Grund warum das für den ersten Ausdruck nicht geht ist, dass der Logarithmus unbeschränkt ist und für limx->0 ln(x) auch gegen -unendlich geht.
Die anderen Antworten fassen das schon gut zusammen. Der Sinus ist in IR beschränkt und man kann zeigen, dass eine beschränkte Folge multipliziert mit einer Nullfolge gegen Null konvergiert, das überträgt sich dann entsprechend auf Funktionen.
na ist doch klar ... egal wie das argument vom sinus aussieht (ob riesengroß oder winzig klein) der wert des ausdrucks liegt immer zwischen -1 und +1. wenn man das ganze nun mit einem ewig winzigen wert der gegen 0 geht multipliziert ... kommt natürlich 0 raus. (ein feines rauschen um die 0 .. kleinwenig drüber, klein wenig drunter)
Ich würde sagen ja. sin(x) geht nicht gegen null aber x selbst schon.
Das reicht leider nicht als Begründung. Wenn sin(x) in gleichem Maße gegen Unendlich divergieren würde, hätten wir ein kleines Problem.
Naja, ich habe mal vorausgesetzt, dass bekannt ist, dass sin(x) periodisch werte zwischen -1 und 1 annimmt.
Ich denke, dann hätte die Person das vielleicht auch selbst herausbekommen... Aber anscheinend fehlte dieses Wissen ein wenig...
danke!
aber bei x * ln(x) geht ja x auch gegen null ,warum wird hier nicht 0angenommen?