Laplace-Transformation von Differentialgleichungen?
Hallo,
auch nach umfangreicher Recherche komme ich mit der Laplace-transformation der folgenden beiden Funktionen nicht klar:
1) f1(t) = t*e^(4t) + t*cos(t)
2) f2(t) = e^(3t+1) * cos(2(t+π))
Kann mir jemand bitte die Laplace-transformation anhand beider Funktionen schrittweise einfach erklären.
Ich danke in Voraus.
1 Antwort
1)
L[ t*e^(4t) + t*cos(t) ] = L[t*e^(4t)] + [ t*cos(t) ]
1. Term:
L[e^(a*t)] = 1/(s-a) (aus Tabelle)
Daraus folgt:
L[t * e^(4*t)] = -d/ds (1/(s-4)) = 1/(s-4)²
2. Term:
L[ cos(t) ] = s/(s²+1)) (aus Tabelle)
Daraus folgt:
L[ t*cos(t) ] = -d/ds ( s/(s²+1)) = (s² - 1)/(s²+1)²
2)
L[e^(3t+1) * cos(2(t+pi))] = e * L[e^(3t) * cos(2(t+pi))]
2. Term
L[cos(2t + 2pi)] = L[cos(2t)*cos(2pi)] - L[sin(2t)*sin(2pi)]
L[cos(2t + 2pi)] = cos(2pi)*L[cos(2t)] - sin(2pi)L[sin(2t)]
L[cos(2t + 2pi)] = L[cos(2t)]
L[ cos(2t) ] = s/(s²+4)) (aus Tabelle)
1. Term:
Durch die Multiplikation mit e^3t wird s durch s-3 ersetzt, und dann noch die Multiplikation mit der Konstanten e:
L[e^(3t+1) * cos(2(t+pi))] = e * (s-3)/((s-3)²+4))