Komplizierte Aufgabe mit e^x richtig gelöst?

Gelöst werden soll:

Meine Lösung ist:

Findet jemand einen Fehler? :D

Answer 1

[Willy1729]

Hallo,

der Fehler beginnt in der Neben-Nebenrechnung:

(e^x-e^(-x))²=e^(2x)+e^(-2x)-2, nicht -2^x.

Die korrekte Lösung ist einfach 1, wenn Du alles zusammengefaßt hast,
also nicht (2+2^x)/4, sondern (2+2)/4=4/4=1.

Herzliche Grüße,

Willy

Comments

[tunik123]

Dahinter verbirgt sich cosh²(x) - sinh²(x) = 1

https://de.wikipedia.org/wiki/Sinus_hyperbolicus_und_Kosinus_hyperbolicus

[LuisBuzZ]

@tunik123

ahhh okay danke

[LuisBuzZ]

Danke!! Ist der Fehler, dass (e^x)/(-e^x) = -1 ist?

[tunik123]

@LuisBuzZ

Nein, genau die Stelle, die Willy1729 gezeigt hat.

2 * (e^x) * (e^(-x)) = 2 und nicht 2^x.

[LuisBuzZ]

@tunik123

(e^x-e^(-x))²=e^(2x)+e^(-2x)-2, nicht -2^x. Damit das stimmt muss ja e^x*(-e)^(-x)=-1 sein also muss es in meiner neben-nebenrechnung einen Fehler geben oder? Und wenn der nicht (e^x)/(-e^x) = -1^x ist, wo ist er dann?

[tunik123]

@LuisBuzZ

Es gilt (e^x)/(-e^x) = (-1)^x, das ist klar.

Aber ich würde mir doch bei der Multiplikation von Potenzen doch nicht freiwillig zusätzlich eine Division einfangen.

Es geht doch hier um die zweie binomische Formel

(a - b)² = a² - 2ab + b² mit a = e^x und b = e^(-x).

a² und b² hast Du wirklich richtig erkannt, daher halte ich den Wert für 2ab für einen Flüchtigkeitsfehler. 2ab = 2 * (e^x) * (e^-x) = 2.

[LuisBuzZ]

@tunik123

2ab = 2 * (e^x) * (e^-x) = 2. Stimmt. Habe ich auch so in der Lösung.
Aber: 2ab = 2 * (e^x) * (-e^-x) = -2. Stimmt nur, wenn:
ab = (e^x) * (-e^-x) = -1. Und genau das ist meine Neben-nebenrechnung.
Nur finde ich in der keinen Fehler.

[LuisBuzZ]

@LuisBuzZ

bzw. meine Neben-nebenrechnung sagt, dass (e^x) * (-e^-x) = -1^x ist

[tunik123]

@LuisBuzZ

Ist ja alles richtig, nur da tauchte ein -2^x auf, was das Problem verursacht hat.

[LuisBuzZ]

@tunik123

Der Fehler war, dass -e^x ungleich (-e)^x ist :D

[Willy1729]

Vielen Dank für den Stern.

Willy

Answer 2

[eterneladam]

Das ist was für die 3. binomische Formel, a² - b² = (a+b)(a-b). Sollte 1 rauskommen ...

Answer 3

[DerRoll]

Ich will das jetzt nicht nachvollziehen, aber hast du schon mal daran gedacht auf die erste Zeile die dritte binomische Formel anzuwenden?

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Dipl.Math.

Comments

[Willy1729]

Das würde nicht funktionieren.

Vergleiche:

(a+b)²-(a-b)²=(a²+2ab+b²)-(a²-2ab+b²)=
=a²+2ab+b²-a²+2ab-b²=4ab.

In diesem Fall bleibt also 4*e^x*e^(-x)/4=4*e^(x-x)/4=4*e^0/4=4*1/4=1.

[DerRoll]

@Willy1729

Aus verschiedenen Gründen (die auch das eine oder andere Bier enthalten) will ich das gar nicht nachrechnen, aber müsste nicht die Auflösung über die dritte das selbe ergeben wie über die erste und zweite?

[Willy1729]

@DerRoll

Doch, funktioniert auch, man muß aber höllisch bei den Vorzeichen aufpassen.

[DerRoll]

@Willy1729

Vorzeichenrechnung, die Nemesis meiner Tochter :-).

[Willy1729]

@Willy1729

Doch, die dritte binomische Formel funktioniert auch.

[Willy1729]

Ich hatte zuerst geschrieben, daß das nicht funktioniert, weil ich dachte, Du wolltest (a+b)²-(a-b)² wie (a+b)*(a-b) behandeln, was schon wegen des Minus nicht klappt.

Du meintest aber a²-b²=(a+b)*(a-b) - und das haut hin.

[(e^x+e^(-x))/2]²-[(e^x-e^(-x))/2]²=
[(e^x+e^(-x)+e^x-e^(-x))/2]*[(e^x+e^(-x)-e^x+e^(-x))/2]=
[(2e^x)/2]*[(2e^(-x)/2]=e^x*e^(-x)=e^(x-x)=e^0=1.

[DerRoll]

@Willy1729

Nach zwei dunklen Weissbier funktioniert das nicht mehr so gut. Aber trotzdem danke für die Bestätigung dass meine Intuition nicht ganz daneben liegt..