Können Eigenwerte komplex sein?
Können die Eigenwerte von Matrizen komplexe Zahlen sein? Wenn ja: Wann passiert das?
Danke im Voraus!
3 Antworten
Die folgenden Beispiele illustrieren die für komplexe (2x2)-Matrizen möglichen Fälle:
Erste Graphik: Zwei Eigenwerte und zwei Eigenvektoren.
Zweite Graphik: Ein Eigenwert, zwei linear unabhängige Eigenvektoren.
Danke! Hatte leider vergessen zu schreiben: Die Matrix soll nur positive reelle Zahlen enthalten. Also das i dürfte in der Matrix z.B. nicht vorkommen. Wären dann trotzdem noch komplexe Eigenwerte möglich?
Sei T ein Operator. Dann hat T nichtreelle Eigenwerte genau dann, wenn T nicht symmetrisch ist. Im Falle T eine Matrix ist dies so, weil die Menge alle Eigenwerte = {(Tx|x) : ||x||=1}. Im Falle allgemeinerer Operatoren: weil {(Tx|x) : ||x||=1} im Spektrum von T enthält, und im Falle T symmetrisch, dichtliegend.
Also ein Beweis dieses Ergebnisses wäre:
Lemma. Sei T ein Operator auf einem Hilbertschen-Raume. Dann besteht σ(Τ) nur aus reellen Zahlen genau dann, wenn T symmetrisch ist.
Beweis: Anmerkung T symmetrisch genau dann, wenn für alle Vektoren, x, (Tx|x) eine reelle Zahl ist. Nun, für die hin-Richtung: ist σ(Τ) eine Teilmenge der reellen Zahlen, so ist auch {(Tx|x) : ||x||=1} Untermenge σ(Τ) Untermenge R. Also wäre T in diesem Falle symmetrisch. Für die her-Richtung: ist T symmetrisch, dann (Satz) liegt {(Tx|x) : ||x||=1} in σ(Τ) dicht. Da diese Untermenge nur aus reellen Zahlen besteht, ist ihr Abschluss auch eine Untermenge von R, weshalb σ(Τ) nur reelle Zahlen enthält. W.z.z.w.
Wenn für eine 2x2-Matrix die Ungleichung
(a-d)² < -4bc
erfüllt wird, dann sind die Eigenwerte komplex.
Besteht die Matrix nur positiven reellen Zahlen, dann kann diese Ungleichung nicht erfüllt werden. Also gibt es in diesem Fall nur reelle Eigenwerte.
Ich kenne da leider keinen Satz und kann im Moment auch nicht in Büchern nachschauen. Für 3x3-Matrizen könnte mans aber noch halbwegs erträglich per Hand versuchen zu berechnen, wann das charakteristische Polynom komplexe Nullstellen annimmt.
Ansonsten steht auf Wikipedia noch:
Die Eigenwerte von reellen symmetrischen Matrizen reell.
Ist die Matrix echt positiv definit so sind die Eigenwerte reell und echt größer Null.
Letzters dürfte aber kaum weiterhelfen, da man in der Praxis eigentlich umgekehrt die Definitheit einer Matrix anhand der Eigenwerte bestimmt und nicht umgekehrt.
Danke! Ihr habt jetzt beide von 2x2-Matrizen gesprochen. Kann man auch für größere Matrizen sagen, ob es komplexe Eigenwerte gibt?