Kern einer kanonischen Projektion?
Hey, wenn Pi: V nach V/U und v wird auf v+U abgebildet verstehe ich leider nicht, warum der kerPi = U ist.
Könnte mir das jmd erklären? Danke im voraus!
1 Antwort
Ok, wir betrachten also die folgende Abbildung, wobei U ein Untervektorraum des Vektorraumes V sein soll:
[Allgemeiner kann man das beispielsweise auch mit einem Normalteiler U in einer Gruppe V betrachten. Aber die Bezeichnungen U und V legen mir Nahe, dass es wohl um Vektorräume geht.]
Der Nullvektor im Quotientenraum V/U ist 0 + U bzw. einfach kurz U.
Nun ist der Kern von π als die Menge all jener Elemente aus V definiert, die von π auf das neutrale Element in V/U abgebildet werden, also auf U abgebildet werden:
Für alle v ∈ V ist nun äquivalent...
Dementsprechend ist ker(π) = U.
============
Hast du da noch Verständnisschwierigkeiten? Wenn ja, wo?
Ich könnte mir denken, dass dir beispielsweise vielleicht nicht klar ist, warum U der Nullvektor in V/U ist, oder warum v + U = U äquivalent zu v ∈ U ist. Dann einfach nochmal nachfragen.
Kurzfassung...
Für alle v₁, v₂ ∈ V ist (v₁ + U) + (v₂ + U) = (v₁ + v₂) + U.
Es ist U = 0 + U.
Für alle v + U ∈ V/U ist...
- U + (v + U) = (0 + U) + (v + U) = (0 + v) + U = v + U
- (v + U) + U = (v + U) + (0 + U) = (v + 0) + U = v + U
D.h. in V/U ist U das neutrale Element bzgl. der Addition.
D.h. in V/U ist U der Nullvektor.
============
Im folgenden Dokument habe ich das nochmal ein wenig ausführlicher mit Beweisen aufgeschrieben:
https://cdn.discordapp.com/attachments/882681362505695252/931933277810475048/VU.pdf
Außerdem findest du in dem Dokument auch
v₁ + U = v₂ + U ⇔ v₁ - v₂ ∈ U
als ein nützliches Kriterium zur Überprüfung der Gleichheit zweier Elemente in V/U.
Vielen Dank tatsächlich ist mir noch nicht ganz klar warum U der Nullvektor ist.