Kann mir jmd detalliert das Ziegenproblem erläutern?
Ich weiss die Grundlagen und verstehe es aber wieso ist es wahrscheinlicher nach dem die erste Tür offen ist die Tür zu wechseln? danke im Voraus
3 Antworten
Die Wahrscheinlichkeit, dass man bei der ersten Wahl die Tür mit dem Gewinn wählt, ist 1/3. In diesem Fall führt die Strategie "wechseln" dazu, dass man das Spiel verliert. In den anderen beiden Fällen (Wahl einer Tür mit einer Ziege dahinter), führt das "wechseln" aber garantiert zum Gewinn, weil der Showmaster in der Zwischenzeit eine falsche Tür geöffnet hat. "Wechseln" führt also in 2/3 der Fälle zum Gewinn und ist die bessere Strategie.
Der entscheidende Punkt, den viele als selbstverständlich voraussetzen, ist, dass der Moderator niemals die Tür zum Preis öffnen wird und dadurch in seiner eigenen Wahl eingeschränkt wird, was für den Spieler einen Informationsgewinn darstellt. Um sich das zu veranschaulichen kann man einmal alle Fälle durchgehen. Ich verwende dafür folgende Notation (P = Preis, N1 = Niete 1, N2 = Niete 2) für folgende Fragen:
Was ist hinter der Tür die zuerst gewählt wurde? Was zeigt der Moderator? Zu was führt ein Wechsel?
Angenommen der Moderator würde auch Türen öffnen, die man bereits angewählt hat und er würde sogar die Tür des Preises öffnen. Dann wären all diese Fälle möglich:
P, P, N1
P, P, N2
P, N1, N2
P, N2, N1
N1, P, N2
N1, N1, P
N1, N1, N2
N1, N2, P
N2, P, N1
N2, N1, P
N2, N2, P
N2, N2, N1
Nun wird der Moderator aber nie die Tür öffnen, die man bereits gewählt hat. Die nicht-fett-markierten Fälle fallen raus. Die eigentliche Chancensteigerung kommt nun dadurch zustande, dass der Spieler zudem weiß, dass der Moderator niemals die Tür zum Preis öffnen wird. Einerseits fallen 2 Fälle weg, d.h. von den fett-markierten Fällen treten in der Realität nur folgende Fälle auf (dahinter steht die entsprechende Wahrscheinlichkeit):
P, N1, N2 (16.6%)
P, N2, N1 (16.6%)
N1, N2, P (33.3%)
N2, N1, P (33.3%)
Außerdem sind diese 4 Fälle nicht gleichwahrscheinlich. Wenn man zuerst zu ⅓ den Preis wählt, dann kann der Moderator zu ½ eine der beiden Türen mit den Nieten öffnen. Die Wahrscheinlichkeit für einen der beiden Fälle mit einem anfangs angewählten Preis beträgt also ⅙. Wenn man aber zu ⅓ eine der beiden Nieten wählt, dann muss der Moderator die andere Tür mit der Niete öffnen und ein Wechsel führt dann zum Preis. Zu ⅓ wählt man zuerst den Preis und ein Wechsel wäre nachteilig. Zu ⅔ wählt man zuerst eine Niete und ein Wechsel lohnt sich.
Das liegt an den Vorbedingungen:
Der Moderator muss(!) wissen wo das Auto und wo die Ziegen sind, denn er will als erstes Ja nicht gleich ausversehen das Auto öffnen. Du nimmst also ein Tor, sagen wir 1 und der Moderator öffnet 2 oder 3. Aber eben nicht zufällig. Sagen wir Auto steht in 2 und er weiß das, öffnet er Tor 3. Steht Auto in 3, öffnet er Tor 2. Das heißt, er hat keine Wahrscheinlichkeit von 50%, sondern trifft mit 100% die Ziege. Das widerrum ist, also hättest du von Anfang an nur 2 Tore im Spiel gehabt, nur das du nicht weißt welche Beiden. Und jetzt kommt noch die Wahrscheinlichkeit hinzu, dass der Moderator ja ausgewählt hat, du aber am Anfang geraten hast. Hierdurch ist die Wahrscheinlichkeit höher, das das ausgewählte Tor des Moderators (welches er verschlossen gehalten hat) das mit dem Auto ist. Ich hoffe das war halbwegs klar, willst du’s noch Mathematisch oder verstehst was nicht? einfach Kommentar.
Ach übrigens, wenn du den Film 21 noch nicht kennst, da kommt das Ziegenproblem vor.. nur am Rande erwähnt.
sehr schön erklärt danke