Kann mir jemand helfen die Aufgaben zu lösen?
1 Antwort
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Ich mach mal einen Anfang.
Für die erste Aufgabe wäre die Partialbruchzerlegung mal ein Ansatz.
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Weißt du wie Partialbruchzerlegung funktioniert?
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Ja den ersten teil verstehe das danach nicht mehr
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Wie kommst du auf a und b? 3.Zeile
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Bei der Partialbruchzerlegung ist die rechte Seite gegeben. In dem Fall ist b = fk, d = fk+2 und ad + bc = 1, also afk+2 + cfk = 1. Das fk+2 kann man zerlegen in fk+2 = fk + fk+1. Also afk+2 + cfk = a(fk + fk+1) + cfk = 1. Für a habe ich 1/fk+1 gewählt, damit fk+1 rausgekürzt wird und für c habe ich -a gewählt, sodass fk auch wegfällt.
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Okay danke und weißt du wie es weiter geht?
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Wie kommst du ganz unten rechts auf im nenner auf f_k+1×f_k+2?
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Der Bruch mit diesem Nenner ist vorgegeben und die andere Seite ist gesucht.
Man kann die Probe machen:
Zuerst bringt man die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner und verwendet fk+2 = fk + fk+1, um den Zähler zu vereinfachen.
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Der linke Bruch ist vorgegeben und die andere Seite ist gesucht. Am Ende habe ich die für a, b, c, d berechneten Werte eingesetzt.
Also afk+2 + cfk = a(fk + fk+1) + cfk = 1. Für a habe ich 1/fk+1 gewählt, damit fk+1 rausgekürzt wird und für c habe ich -a gewählt, sodass fk auch wegfällt.
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Nach der Partialbruchzerlegung liegt bereits die Form ak - ak+1 vor und somit die gewünschte Teleskopsumme, wodurch bei der n-ten Partialsumme nur a1 - an+1 übrig bleibt. Für n → ∞ verschwindet an+1, sodass die Reihe gegen a1, also 1/(f1f2) = 1/1 = 1 konvergiert.
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Kanns du das bisschen genauer erklären?
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Wenn Dir noch nicht klar ist, was eine Teleskopsumme ist, kannst Du z.B. hier nachlesen: https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Teleskopsumme_und_Teleskopreihe
Das Vorgehen ist immer das gleiche.
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Kannst du das auch erklären?