Kann mir jemand erklären wie man auf die Lösung dieser Aufgabe zur Konvergenz kommt?
Erstens ich Check nicht wie man auf epsilon =1 kommt und auf n und x weil wie hat man genau diese Abschätzungen gemacht um drauf zu kommen ?
2 Antworten
Gleichmäßige Konvergenz bedeutet hier, dass das Supremum von |cos(x/n) - 1| über x gegen 0 gehen soll. Die Amplitude von cos(x/n) ändert sich für verschiedene n aber nicht. Nur die Frequenz bzw. Wellenlänge ändert sich. Es gibt also weiterhin Werte für x, sodass cos(x/n) = 0 oder sogar cos(x/n) = -1. In dem Fall wird x in Abhängigkeit von n so gewählt, dass cos(x/n) = 0. Wegen cos(pi/2) = 0 wird x = n pi/2 gewählt. Mit der Wahl ist |cos(x/n) - 1| = 1.
Man könnte auch andere x wählen. Es geht nur darum, eine Folge (x_n) zu finden, dass |cos(x_n/n - 1)| nicht gegen 0 geht. Der Einfachheit halber wurde (x_n) so gewählt, dass konstant |cos(x_n/n - 1)| = 1
Man könnte auch epsilon = 2 oder epsilon = 1/2 wählen. Für den Beweis reicht ein beliebiges epsilon > 0. Für x/n = pi wäre |cos(x/n) - 1| = 2.
Gleichmässige Konvergenz der Folge fn(x) mit der Grenzfunktion f(x) auf dem Intervall I meint:
(I) |fn(x) - f(x)| < ɛ für alle n € N, x € I
Nun lassen sich auf R beliebige x finden mit:
cos(x/n) = 1
cos(x/n) = 0
cos(x/n) = -1
Daraus folgt:
|fn(x) - 1| oszilliert auf R zwischen 0 und +2
|fn(x) - 1| müsste jedoch für alle x € R und n -> ∞ eine Nullfolge sein.
Der Beweis in der Aufgabe beschränkt sich auf den Fall cos(x/n) = 0 und zeigt, dass bereits mit der Wahl von ɛ = 1 die Bedingung (I) nicht erfüllt ist.