Kann mir jemand diese Aufgabe lösen?

Mit der Langrange Funktion

Answer 1

[LoverOfPi]

Deine Aufgabe ist ein klassisches Extremwertproblem. Ich habe zwar noch nie von der Lagrange-Methode gehört, aber nach kurzem googeln war die doch recht trivial.

Es funktioniert wie folgt. Die Zielfunktion ist die Schweißnaht, die sich hier aus

$S\left(r,h\right)=2\cdot\pi\cdot r+h$ zusammensetzt.

Außerdem erhalten wir über das Volumen die Nebenbedingung, es muss ganz einfach gelten:

$V=2=\pi\cdot r^2\cdot h$ In der Lagrange-Methode wird nun die Nebenbedingung nach 0 umgestellt

$\leftrightarrow\ \pi\cdot r^2\cdot h-2=0$ und mit dem Lagrange-Faktor eingesetzt.

$S\left(r,h\right)=2\pi r+h+\lambda\cdot\left(\pi\cdot r^2\cdot h-2\right)$ Jetzt leiten wir nach einer Variablen, hier nach h, ab:

$S'\left(r,h\right)=1+\lambda\cdot\pi\cdot r^2$ Jetzt nach der anderen Variable:

$S'\left(r,h\right)=2\pi+\lambda\cdot\left(2\pi\cdot r\cdot h\right)$ Und jetzt nach Lambda abgeleitet
$S'\left(r,h\right)=\pi\cdot r^2\cdot h-2$ Nun musst du alle gleich 0 setzen und Lambda eliminieren:

$\left[0=2h+\lambda\cdot\left(2\pi\cdot r^2\cdot h\right),\ 0=2\pi r+\lambda\left(2\pi\cdot r^2\cdot h\right)\right]\ \leftrightarrow\ 0=2h-2\pi r$

Jetzt können wir uns noch die letzten beiden Gleichungen vornehmen:

$I.\ 0=2h-2\pi r\ \leftrightarrow\ h=\pi r$ $II.\ \pi\cdot r^2\cdot h-2=0\ \leftrightarrow\ 2=\pi^2\cdot r^3$ Den Rest schaffst du selber. Jetzt ist es ja trivial.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Ich studiere Mathematik im zweiten Semester

Comments

[lm2003]

Vielen lieben Dank!! Du hilfst mir gerade so weiter 🥹

[LoverOfPi]

@lm2003

Sehr gerne! :D Ist das Stoff aus dem Studium?

[lm2003]

@LoverOfPi

Ja. Ich habe noch eine Aufgabe, die genauso ist, aber ich bekomme , wenn ich die partiellen Ableitungen =0 setze nicht die variablen raus :/ könntest du mir da nochmal helfen?

[lm2003]

@LoverOfPi

Aufgabe lautet:

Ein Getränkehersteller füllt Apfelsaft in Verpackungen ab, die die Form eines Quaders mit quadratischer Grundfläche haben, siehe unten stehende Skizze. Die Oberfläche des Quaders sei mit O = 600 cm^2 fest vorgegeben.

Wie müssen die Seitenlängen a und b gewählt werden, damit das Volumen V des Quaders maximal wird? Von der Dicke des Verpackungsmaterials wird abgesehen. Verwenden Sie hierzu das Lagrangesche Multiplikatorverfahren!

Hinweis:

O(a,b) = 2a^2+ 4ab

V(a,b) = (a^2) *b

[LoverOfPi]

@lm2003

Okay, na dann:

Hauptbedingung:

V=a²*b

600=2a²+4ab <-> 0=2a²+4ab-600

-> V(a,b)=a²*b+L(2a²+4ab-600)

V'_a(a,b)=2ab+L*(4a+4b)=0

V'_b(a,b)=a²+L*4a=0

V'_L(a,b)=2a²+4ab-600=0

Eliminierung von Lambda:

I. 8a²b+L(4a)(4a+4b)=0

II. a²(4a+4b)+L(4a)(4a+4b)=0

-> 0=8a²b-a²*(4a+4b)=a²(4b-4a)

und jetzt hast du deine zwei Gleichungen nur von a und b abhängig, den Rest schaffst du sicherlich.

[lm2003]

@LoverOfPi

Vielen vielen Dank. Es scheitert meistens bei den doofem lgs :/

[lm2003]

@LoverOfPi

Bei mir kommt jetzt für a und für b 10. kann das sein? 🤔 ich habe 8a^2b-a^2(4a+4b)=0 erstmal nach a aufgelöst und dann das Ergebnis in die nebenbedingung eingesetzt und diese nach b dann aufgelöst

[lm2003]

@lm2003

Hat sich erledigt. Das müsste passen. Nochmals vielen

Dank !!!

[LoverOfPi]

@lm2003

Ein Quader ist generell maximal, vom Volumen, wenn es ein Würfel ist ;)

[Halbrecht]

Nun musst du alle gleich 0 setzen und Lambda eliminieren:

woher kommen die darauf folgenden glg ?

[LoverOfPi]

@Halbrecht

Durch die vorher hergeleiteten Ableitungen, gekoppelt mit einem "gleichnamig" machen der Faktoren bei Lambda