Kann mir jemand die Aufgabe lösen?

B spart jährlich vorschüssig 1000 €. Den Betrag zahlt er auf ein Sparkonto ein, das mit 4 % pro Jahr verzinst wird. Am Ende der Laufzeit erhält er 15.000 € ausgezahlt. Ermitteln Sie, wie viele Jahre b sparen muss, um dieses End Kapital zu erhalten.

Comments

[Codeline]

Wieso sollte jemand dir diese Aufgabe lösen? Was hättest du davon?

[elifba2003]

weil ich hilfe brauche?????? Was ist das denn für eine Frage

Answer 1

[Willy1729]

Hallo,

nach einem Jahr hat er 1000*1,04 €. Nach zwei Jahren 1000*1,04+1000*1,04^2, denn die ersten 1000 Euro wurden nun schon zweimal verzinst.

Das geht, bis nach n Jahren 15.000 € gespart wurden.

Die Gleichung lautet daher 1000*1,04+1000*1,04^2+...+1000*1,04^n=15.000.

1000 kann man ausklammern:

1000*(1,04+1,04^2+...+1,04^n)=15000.

Nach Kürzen durch 1000:

1,04+1,04^2+...+1,04^n=15.

Links steht eine geometrische Reihe, nämlich
sn=1,04+1,04^2+...+1,04^n.

Dann ist 1,04sn gleich 1,04^2+1,04^3+...+1,04^n+1,04^(n+1).

Zieht man davon sn ab, heben sich die Summanden in der Mitte auf, da beide Reihen bis auf das erste und das letzte Glied identisch sind.

1,04sn-sn=0,04sn=1,04^(n+1)-1,04.

Somit ist sn gleich (1,04^(n+1)-1,04)/0,04.

Das soll gleich 15 werden.

Auflösen nach n:

(1,04^(n+1)-1,04)/0,04=15|*0,04

1,04^(n+1)-1,04=0,6.|+1,04
1,04^(n+1)=1,64|ln
(n+1)*ln(1,04)=ln(1,64)|:ln(1,04)
n+1=ln(1,64)/ln(1,04)|-1
n=ln(1,64)/ln(1,04)-1
n=11,61313735.

Also ist das Sparziel nach etwa 11,6 Jahren erreicht.

Herzliche Grüße,

Willy

Answer 2

[GuteAntwort2021]

Hallo.

Einfach alles in die entsprechende Formel einsetzen, die ihr sicher im Unterricht besprochen habt und dann nach der Unbekannten umstellen und auflösen:

$15000\ =\ 1000\ \cdot\ 1,04\ \cdot\ \frac{1,04^{Jahre}\ -\ 1}{0,04}$ $14,423077\ \sim\ \frac{1,04^{Jahre}\ -\ 1}{0,04}$ $0,5769231\ \sim\ 1,04^{Jahre}\ -\ 1$ $1,5769231\ \sim\ 1,04^{Jahre}$ $\log\left(1,5769231\right)\ \sim\ \log\left(1,04\right)\ \cdot\ Jahre$ $Jahre\ \sim\ \frac{\log\left(1,5769231\right)}{\log\left(1,04\right)}$ $Jahre\ \sim\ 11,6$

LG

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Diplom Wirtschaftsinformatiker

Comments

[elifba2003]

meine Kollegen haben das so gerechnet :

15000€ = 1000€ x ( 1 + 0,04 ) ^n | :1000

15 = ( 1,04) ^ n

n= log ( 1,04) ( 15)

= 69,04

[GuteAntwort2021]

@elifba2003

Das wäre die normale nachschüssige Zinsrechnung. Also wie viele Jahre müsstest du 1000€ mit 4% Zinsen anlegen um auf 15000€ zu kommen.

Im Text steht ja aber zum einen, dass es vorschüssig ist, zum anderen, dass jährlich 1000€ gespart werden - also jedes Jahr 1000€ eingezahlt werden.

[elifba2003]

@GuteAntwort2021

achso, okay vielen Dank !

Answer 3

[evtldocha]

Schwierig hier zu bestimmen, wo man anfangen soll, wenn man nicht in Eurem Unterricht gesessen hat.

Das Endkapital bei einer jährlich vorschüssigen Einzahlung Z von 1000 € bei einem Zinssatz von 4% (und damit einem Faktor q = 1 + 4 % = 1,04) ist:

$K_n=Z\cdot\frac{q\cdot\left(q^n-1\right)}{q-1}$

$q^n=\ \frac{K_n\cdot\left(q-1\right)}{Z\cdot q}+1\ \ \ \ \ \ \ \ \ |\ \ln$ $n=\frac{\ln\left(\frac{K_n\cdot\left(q-1\right)}{Z\cdot q}+1\right)}{\ln\left(q\right)}$ Setz man nun alles ein, kommt man auf ca. 11,6 Jahre.

Falls Du die Herleitung der Formel benötigen solltest, müsstest Du Dich nochmal melden (basiert am Ende auf einer geometrischen Reihe).