Kann mir jemand bei folgender Polynom Aufgabe helfen?

Zeige: Wenn P ein reelles Polynom ist, so liegen die komplexen Nullstellen symmetrisch zur reellen Achse, das heißt, wenn P (a + bi) = 0, so ist auch P (a bi) = 0.

Answer 1

[mihisu]

Zu dem reellen Polynom P gibt es eine natürliche Zahl n ∈ ℕ und Koeffizienten p₁, ..., pₙ ∈ ℝ mit...

$P(X)=\sum\limits_{k=0}^{n}p_{k}X^k$

Sei nun a + bi (mit a, b ∈ ℝ) eine Nullstelle des Polynoms P. Das bedeutet:

$P(a+b\text{i})=0$

Also:

$\sum\limits_{k=0}^{n}p_k\cdot (a+b\text{i})=0$

Nun kann man die beiden Seiten der Gleichung komplex konjugieren...

$\rightarrow\quad \overline{\sum\limits_{k=0}^{n}p_k\cdot (a+b\text{i})}=\overline{0}$

Die komplexe Konjugation ist ein Körperautomorphismus und als solcher entsprechend mit der Addition und Multiplikation verträglich. Man kann die komplexe Konjugation also entsprechend auf einzelne Summanden einer Summe bzw. auf einzelne Faktoren eines Produkts aufteilen.

$\rightarrow\quad \sum\limits_{k=0}^{n}\overline{p_k\cdot (a+b\text{i})}=\overline{0}$

$\rightarrow\quad \sum\limits_{k=0}^{n}\overline{p_k}\cdot \overline{(a+b\text{i})}=\overline{0}$

Da die Koeffizienten p₁, ..., pₙ reell sind, werden diese nicht durch die komplexe Konjugation beeinflusst. Auch die reelle Zahl 0 auf der rechten Seite wird nicht durch die komplexe Konjugation beeinflusst. Aus a + bi wird bei komplexer Konjugation a - bi.

$\rightarrow\quad \sum\limits_{k=0}^{n}p_k\cdot (a-b\text{i})=0$

$\rightarrow\quad P(a-b\text{i})=0$

Und wegen P(a - bi) = 0 ist dann eben auch a - bi eine Nullstelle des Polynoms P.