Kann mir jemand bei dieser matheaufgabe helfen?
2 Antworten
Die matrix A ist aufgebaut wie die einheitsmatrix mit n Zeilen und n spalten (nxn) nur dass alle Einsen um eine Zeile nach unten versetzt wurden ,siehe bedingung: ai,j=1, falls j=i+1 (bei der einheitsmatrix gilt ai, j=1, falls j=i)
Wenn diese matrix nun quadriert, also A^2, wird verschieben die Einsen sich um eine weitere Zeile nach unten:
Bei A^3 noch eine Zeile tiefer und so weiter.
Folglich gilt:
A^k = (ai,j) mit ai,j = 1, falls j = i + k, sonst 0
A hat Einsen in der oberen Nebendiagonale, sonst Nullen. Mit jeder Multiplikation mit A "wandert" diese um eins weiter nach oben. Das hat (beinahe) schon GreenxPiece in seiner Antwort geschrieben, allerdings sieht er die Wanderung nach unten. Zudem muss man das ganze auch beweisen, was man induktiv machen kann.
Sei also die Matrix A^k berechnet mit den Einträgen
a_{i,j} = 1, falls j = i+k, sonst 0, was wir als delta(j,i+k) schreiben,
dann gilt für das Produkt A^k * A
a_{i,j} = Summe( m=1; n; delta(m,i+1) * delta(j,m+k) ) = delta(j,i+k+1)