Kann mir jemand bei dieser Knobelaufgabe helfen?
Aufgaben
X wert ausrechnen
Flächeninhalt A ausrechnen
Es handelt sich hier anscheinend um eine Extremwertaufgabe. Wie lautet die genaue Aufgabenstellung? Soll der x-Wert eine Stelle sein, oder die Länge einer Seite?
Meine Klassenlehrerin hat sich diese Aufgabe ausgedacht.
Sie meinte dass wir x bestimmen sollen und den größten Flächeninhalt A für den Würfel
X wert soll glaube ich die Länge sein
1 Antwort
Es handelt sich hier um ein Extremwertproblem, oder auch Optimierungsproblem genannt. Dabei gibt es eine Hauptbedingung, welche die zu optimierende Größe darstellt. Die Hauptbedingung ist immer abhängig von einer Variablen. Hier soll der Flächeninhalt des Rechtecks optimiert werden.
Ich vermute, dass es sich hier nicht um einen, wie du geschrieben hast, Würfel handelt, sondern um ein Rechteck. Da ich nicht sehr viele Informationen bekommen habe schlussfolgere ich einfach auf ein Rechteck, da du bereits als Hauptbedingung A = a * b geschrieben hast. Dies ist ja die Formel des Flächeninhalts eines Rechtecks, die eines Quadrats ist A = a * a. Mit einem Würfel wäre diese Aufgabe weitaus komplizierter, da ein Würfel ein dreidimensionaler Körper ist.
Machen wir jetzt mal weiter mit der Lösung der Aufgabe. Wir wissen folgendes:
Wir nennen die Länge a und die Breite b. Wir stellen nun Nebenbedingungen auf.
Wie bin ich auf diese Nebenbedingungen gekommen? Es empfiehlt sich sehr hier eine Skizze anzufertigen um zu verstehen wie ich auf die Nebenbedingungen gekommen bin.
Ich habe hier nun einmal den Graphen von der Funktion f(x) eingezeichnet. Wir brauchen ja für den Flächeninhalt einmal die Länge und einmal die Breite des Rechtecks. In der Zeichnung kann man diese Werte nun gut ablesen.
Wir können nun mithilfe der Nebenbedingung folgende Hauptbedingung aufstellen:
Ich habe die Funktion aufgestellt indem ich einfach die beiden Nebenbedingungen miteinander multipliziert habe, dann habe ich den Term noch vereinfacht.
Jetzt wollen wir, ja den Flächeninhalt so bestimmen, dass er maximal wird, also so, dass er ein Extrema erreicht. Bei Extrempunkten etc. sollte man immer an die erste Ableitung denken. Wir möchten, dass der Flächeninhalt des Rechtecks maximal wird. Der Flächeninhalt des Rechtecks wird durch die Hauptbedingung A(x) beschrieben. Wir müssen also nun die Hauptbedingung A(x) ableiten und die Ableitung gleich Null setzen und dann den Wert für x bestimmen.
Diese Gleichung lösen wir nun nach x auf, wir subtrahieren 16 und dividieren -2 und kommen somit auf x = 8. Nun müssen wir noch überprüfen ob x = 8 wirklich ein Maximum ist. Dazu bestimmt man die zweite Ableitung von A(x) an der Stelle 8 und schaut ob der Wert der rauskommt kleiner Null ist.
Also wird für x = 8 der Flächeninhalt des Rechtecks wirklich maximal.
Ich hoffe ich konnte dir weiterhelfen, melde dich bei weiteren Fragen gerne in den Kommentaren.
Ich habe jetzt bei den X wert auch 8 herausbekommen. Danach habe ich den X-Wert 8 in die Funktion eingesetzt, sodass ich den Y Wert für den oberen Punkt herausbekommen habe=(8/-24).Da ich per Skizze weiß das der Y- Wert positiv sein muss bin ich leicht verwirrt, ob es richtig ist? Oder ist es einfach 24 positiv?
LG Niklas